考研数学复习记录 2021-07-04

Posted 2021-07-16 平原上的维克多

本文整理的概念和定理主要来自同济版《高等数学》第三章，并对顺序进行了微调，将极值由最后一部分移动至第一部分，其原因在于罗尔定理的证明过程中需要引用费马引理。

1. 函数的极值与最值

1.1 极值的概念

1.2 极值的必要条件(费马引理)

1.3 极值的两个必要条件

注意费马引理和极值的必要条件2之间存在对应关系

2. 中值定理

2.1 罗尔定理

2.2 拉格朗日中值定理和有限增量定理

拉格朗日中值定理又称微分中值定理

2.3 柯西中值定理

下文的洛必达法则，泰勒公式，函数的单调性与曲线的凹凸性相关定理都由中值定理推导得出。

3. 洛必达法则

未定式：$x\to a$或$x\to \infty$时，呈现为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty }{\infty }$形式的极限，可能存在，也可能不存在，即使存在也无法通过“商的极限等于极限的商”来求解。

tips: 初等函数(对数函数、指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数通过有限次四则运算或复合运算形成的结果)在其定义域内的连续性使得我们可以通过符合直觉的方式来直接求解极限：连续点处的极限等于该点处的函数值。

下面是$x\to a$时的未定式$\frac{\infty }{\infty }$的情形：
$$\begin{gathered} 定理1：设(1)当x\to a时，函数f(x)和F(x)都趋近于0 \\ (2)在点a的某去心领域内，f^{{}^{\prime }}(x)和 \\ (3)\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{{}^{\prime }}(x)}{F^{{}^{\prime }}(x)}存在或为无穷大 \\ 则 \end{gathered}$$

证明思路：单点扩收
求分式极限时分子分母同时加减某个常数对结果无影响？