区间dp（石子合并）模板题

Posted 2021-07-18 行码棋

设有 N 堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。
每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这 N 堆石子合并成为一堆。
每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。
例如有 4 堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；
如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式
第一行一个数 N 表示石子的堆数 N。
第二行 N 个数，表示每堆石子的质量(均不超过 1000)。

输出格式
输出一个整数，表示最小代价。

数据范围
1≤N≤300
输入样例：
4
1 3 5 2
输出样例：
22

• 状态表示：
  $dp[i][j]$代表的是第i堆石子到第j堆石子合并所需要的最小代价
  所以需要枚举区间
  因为状态转移时，所需要用到的其他状态的值需要提前算出来，那么就需要枚举区间的长度。
• 转移方程
  $dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+s[j]-s[i-1])$
  k枚举的是把$i-j$区间分割成两部分的分割线

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int dp[305][305],s[305];

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>s[i];
        s[i]+=s[i-1];
    }
    for(int len=2;len<=n;len++)
    {
        for(int i=1;i+len-1<=n;i++)
        {
            int l = i,r=i+len-1;
            dp[l][r]=INT_MAX;
            for(int k=l;k<=r-1;k++)
                dp[l][r] = min(dp[l][r],dp[l][k]+dp[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);
        }
    }
    cout<<dp[1][n]<<'\\n';
    return 0;
}