LeetCode 421. 数组中两个数的最大异或值

Posted 2021-07-06 Alex Hub

421. 数组中两个数的最大异或值

Idea

假设选择了数组中的元素a_i和a_j使得它们达到最大按位异或结果x:$x=a_i\oplus a_j$，其中⊕表示按位异或运算。

根据异或运算的性质，$x=a_i\oplus a_j$等价于$a_j=a_i\oplus x$，根据这一变换，可以设计一种[从高位到低位依次确定x二进制表示的每一位]的方法，以此得到x的值。

数组中的元素都在[0, 2³¹)的范围内，可以将每一个数都表示为一个长度为31位的二进制数（不满31位补前导0）字符串，然后可以从最高位第30个二进制位开始依次确定x的每一位是0还是1。

由于需要找出最大的x，因此在枚举每一位时，需要先判断x的这一位是否能取到1，如果能，就取这一位为1，否则取这一位为0。

将字符串放入字典树中，那么在字符串中查询一个字符串的过程，就是从高位开始确定每一个二进制位的过程。

$x=a_i\oplus a_j$，枚举a_i，将a₀, a₁, …, a_i-1作为a_j放入字典树，希望找到使得x达到最大值的a_j。

从字典树的根节点开始进行遍历，遍历的[参照对象]为a_i，根据a_i的第x个二进制位时0还是1确定应该走哪个子节点。

假设当前遍历到第k个二进制位：

• 如果a_i的第k个二进制位为0，那么应该往表示1的子节点走。如果不存在表示1的子节点，就只能往表示0的子节点走。
• 如果a_i的第k个二进制位为1，那么应该往表示0的子节点走。如果不存在表示0的子节点，就只能往表示1的子节点走。

遍历完所有的31个二进制位后，得到a_i可以通过异或运算得到的最大x。

Code

Python

from typing import List


class Trie:
	def __init__(self):
		self.left, self.right = None, None


class Solution:
	def findMaximumXOR(self, nums: List[int]) -> int:
		root = Trie()
		HIGH_BIT = 30

		def add(num: int) -> None:
			cur = root
			for k in range(HIGH_BIT, -1, -1):
				bit = (num >> k) & 1
				if bit == 0:
					if not cur.left:
						cur.left = Trie()
					cur = cur.left
				else:
					if not cur.right:
						cur.right = Trie()
					cur = cur.right

		def check(num: int) -> int:
			cur = root
			x = 0
			for k in range(HIGH_BIT, -1, -1):
				bit = (num >> k) & 1
				if bit == 0:
					if cur.right:
						cur = cur.right
						x = x * 2 + 1
					else:
						cur = cur.left
						x = x * 2
				else:
					if cur.left:
						cur = cur.left
						x = x * 2 + 1
					else:
						cur = cur.right
						x = x * 2
			return x
		
		n, x = len(nums), 0
		for i in range(1, n):
			add(nums[i - 1])
			x = max(x, check(nums[i]))
		return x