P4569 [BJWC2011]禁忌(ac自动机+矩阵快速幂)

Posted 2021-06-30 issue是fw

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对于特定的长度为$n$的字符串,容易发现如果$[l,r]$是一个禁忌字符串,那么答案马上可以加一

然后单独再对$[r+1,n]$计算贡献,这样一定最优.

于是使用$ac$自动机压缩一下$n$个字符串的状态,定义$f[i][j]$表示前$i$个字符匹配到$j$位置的概率

每次枚举字母$k$,设状态$j$通过字母$k$可以转移到状态$nxt$

当$nxt$为终止节点时,设$proalp=\frac{1}{alphabet}$

$f[i+1][0]+=f[i][j]\ast proalp$

且$ans+=f[i][j]$

当$nxt$不为终止节点时

$f[i+1][nxt]+=f[i][j]\ast proalp$

时间复杂度$O(len\ast tot)$,其中$tot$表示自动机上的点数,大概在$200$左右

代码LINK

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注意到每次的转移是一样的,于是可以用矩阵来转移

初始矩阵为

$$S=\left[\begin{array}{ccccc}{f}_0& f_1& \cdots & f_{tot-1}& ans\end{array}\right]$$

其中$f_i$表示当前在自动机节点$i$的概率,$ans$表示现在的答案

转移矩阵是一个$(tot+1)\ast (tot+1)$的矩阵$z$

当状态$j$能通过字母$k$转移到状态$q$时$z[j][q]+=proalp$

特殊的,对于最后一列是计算答案用的,设状态$j$能通过字母$k$转移到终止节点$w$

那么$z[j][tot]+=proalp$

且$z[tot][tot]=1$,这是为了继承上一轮计算的$ans$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Lf long double
const int maxn =3e5+10;
int zi[maxn][30],fail[maxn],id,val[maxn];
int n,len,alp,mx;
char s[maxn];
struct rce
{
	Lf a[109][109];
	rce(){ memset(a,0,sizeof a ); }
	rce operator * ( const rce&b )	const
	{
		rce s;
		for(int i=0;i<=mx;i++)
		for(int j=0;j<=mx;j++)
		{
			s.a[i][j] = 0;
			for(int k=0;k<=mx;k++)
				s.a[i][j] += a[i][k]*b.a[k][j];
		}
		return s;
	}
};
rce quick(rce a,int n)
{
	rce ans = a;
	for( ; n ; n>>=1,a = a*a )
		if( n&1 )	ans = ans*a;
	return ans;	
}
void insert(char s[])
{
	int le = strlen( s+1 ), now = 0;
	for(int i=1;i<=le;i++)
	{
		if( zi[now][s[i]-'a']==0 )	zi[now][s[i]-'a'] = ++id;
		now = zi[now][s[i]-'a'];	
	}
	val[now] = 1;//这个位置有字符串存在 
}
void make_fail()
{
	queue<int>q;
	for(int i=0;i<=25;i++)
		if( zi[0][i] )	q.push( zi[0][i] );
	while( !q.empty() )
	{
		int u = q.front(); q.pop();
		for(int i=0;i<=25;i++)
		{
			if( zi[u][i] )//存在这个节点
				fail[zi[u][i]] = zi[fail[u]][i],q.push( zi[u][i] );
			else
				zi[u][i] = zi[fail[u]][i]; 
		}
	}
}
int main()
{
	cin >> n >> len >> alp;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%s",s+1 );
		insert( s );	
	}	
	make_fail(); mx = id+1;
	Lf proalp = 1.0/alp;
	rce chu, zhuan;
	chu.a[0][0] = 1;
	
	for(int q=0;q<=id;q++)//枚举状态 
	for(int j=0;j<alp;j++)
	{
		int nxt = zi[q][j];
		if( val[nxt] )
		{
			zhuan.a[q][0] += proalp;
			zhuan.a[q][id+1] += proalp;
		}
		else//不是终止状态 
			zhuan.a[q][nxt] += proalp;	 
	}
	zhuan.a[id+1][id+1] = 1;
	chu = chu*quick( zhuan,len-1 );
	printf("%.7Lf",chu.a[0][id+1] ); 
}