BZOJ2553[BeiJing2011]禁忌 AC自动机+期望DP+矩阵乘法

Posted 2020-09-16 CQzhangyu

【BZOJ2553】[BeiJing2011]禁忌

Description

       Magic Land上的人们总是提起那个传说：他们的祖先John在那个东方岛屿帮助Koishi与其姐姐Satori最终战平。而后，Koishi恢复了读心的能力……

如今，在John已经成为传说的时代，再次造访那座岛屿的人们却发现Koishi遇到了新麻烦。

       这次她遇到了Flandre Scarlet——她拥有可以使用禁忌魔法而不会受到伤害的能力。

       为了说明什么是禁忌魔法及其伤害，引入以下概念：

1．字母集A上的每个非空字符串对应了一个魔法。

其中A是包含了前alphabet个小写字母的集合。

2．有一个集合T，包含了N个字母集A上的字符串

T中的每一串称为一个禁忌串（Taboo string）

3．一个魔法，或等价地，其对应的串s因为包含禁忌而对使用者造成的伤害按以下方式确定：

           把s分割成若干段，考虑其中是禁忌串的段的数目，不同的分割可能会有不同的数目，其最大值就是这个伤害。

由于拥有了读心的能力，Koishi总是随机地使用Flandre Scarlet的魔法，可以确定的是，她的魔法正好对应字母集A上所有长度为len的串。

但是，Flandre Scarlet所使用的一些魔法是带有禁忌的，由于其自身特性，她可以使用禁忌魔法而不受到伤害，而Koishi就不同了。可怜的Koishi每一次使用对方的魔法都面临着受到禁忌伤害的威胁。

       你现在需要计算的是如果Koishi使用对方的每一个魔法的概率是均等的，那么每一次随机使用魔法所受到的禁忌伤害的期望值是多少。

Input

第一行包含三个正整数N、len、alphabet。

接下来N行，每行包含一个串T_i，表示禁忌串。

Output

一个非负实数，表示所受到禁忌伤害的期望值。

Sample Input

2 4 2
aa
abb

Sample Output

0.75
【样例1解释】
一共有2^4 = 16种不同的魔法。
需要注意的是“aabb”的禁忌伤害是1而不是2。

HINT

100%的数据中N ≤ 5，len ≤10⁹，1 ≤ alphabet ≤ 26。

在所有数据中，有不少于40%的数据中：N = 1。

数据保证每个串T_i的长度不超过15，并且不是空串。

数据保证每个T_i均仅含有前alphabet个小写字母。

数据保证集合T中没有相同的元素，即对任意不同的i和j，有T_i≠T_j。

题解：做完GT考试那道题在做这道题感觉就有思路了

直接建出Trie图，然后根据Trie图构造转移矩阵，具体方法：

（std）对于AC自动机的节点i的j号儿子指针，若j不是危险节点（危险节点：一个禁忌字符串的结尾），那么直接令转移矩阵的[i,j]=1/alphabet；若j是危险节点，则直接令[i,root]=1/alphabet（因为要求禁忌串不能重叠），然后需要记录它对答案的贡献，那么新建一个节点0，再令[i,0]=1/alphabet,[0,0]=1就好了

目标矩阵[1,1]=1，然后目标矩阵*=转移矩阵^len，答案就是目标矩阵的[1,0]

（my）谁能告诉我我这方法错在哪啊啊啊！！！

对于节点i，如果它本身是危险节点，那么[i,0]=0，然后[i,j]=1/alphabet（j是根节点的儿子）；若不是，那么[i,j]=1/alphabet（j是i的儿子）

帮我看看代码吧~

std:

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long double ld;
int n,len,m,tot;
char str[20];
queue<int> q;
struct node
{
	int ch[26],fail,cnt;
}p[100];
typedef struct matrix
{
	ld v[100][100];
}M;
M x,ans,emp;
void build()
{
	q.push(1);
	int i,u;
	while(!q.empty())
	{
		u=q.front(),q.pop();
		for(i=0;i<m;i++)
		{
			if(u==1)
			{
				if(!p[u].ch[i])	p[u].ch[i]=1;
				else	p[p[u].ch[i]].fail=1,q.push(p[u].ch[i]);
				continue;
			}
			if(!p[u].ch[i])
			{
				p[u].ch[i]=p[p[u].fail].ch[i];
				continue;
			}
			q.push(p[u].ch[i]);
			p[p[u].ch[i]].fail=p[p[u].fail].ch[i];
			p[p[u].ch[i]].cnt|=p[p[p[u].fail].ch[i]].cnt;
		}
	}
}
M mmul(M a,M b)
{
	M c=emp;
	int i,j,k;
	for(i=0;i<=tot;i++)
		for(j=0;j<=tot;j++)
			for(k=0;k<=tot;k++)
				c.v[i][j]+=a.v[i][k]*b.v[k][j];
	return c;
}
void pm(int y)
{
	while(y)
	{
		if(y&1)	ans=mmul(ans,x);
		x=mmul(x,x),y>>=1;
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&len,&m);
	int i,j,a,b,u;
	tot=1;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%s",str),a=strlen(str);
		u=1;
		for(j=0;j<a;j++)
		{
			b=str[j]-‘a‘;
			if(!p[u].ch[b])	p[u].ch[b]=++tot;
			u=p[u].ch[b];
		}
		p[u].cnt=1;
	}
	build();
	x.v[0][0]=1.0,ans.v[1][1]=1.0;
	for(i=1;i<=tot;i++)
	{
		for(j=0;j<m;j++)
			if(p[p[i].ch[j]].cnt)	x.v[i][0]+=(ld)1/m,x.v[i][1]+=(ld)1/m;
			else	x.v[i][p[i].ch[j]]+=(ld)1/m;
	}
	pm(len);
	printf("%.7f",(double)ans.v[1][0]);
	return 0;
}

 

my:(WA)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long double ld;
int n,len,m,tot;
char str[20];
queue<int> q;
struct node
{
	int ch[26],fail,cnt;
}p[100];
typedef struct matrix
{
	ld v[100][100];
}M;
M x,ans,emp;
void build()
{
	q.push(1);
	int i,u;
	while(!q.empty())
	{
		u=q.front(),q.pop();
		for(i=0;i<m;i++)
		{
			if(u==1)
			{
				if(!p[u].ch[i])	p[u].ch[i]=1;
				else	p[p[u].ch[i]].fail=1,q.push(p[u].ch[i]);
				continue;
			}
			if(!p[u].ch[i])
			{
				p[u].ch[i]=p[p[u].fail].ch[i];
				continue;
			}
			q.push(p[u].ch[i]);
			p[p[u].ch[i]].fail=p[p[u].fail].ch[i];
			p[p[u].ch[i]].cnt|=p[p[p[u].fail].ch[i]].cnt;
		}
	}
}
M mmul(M a,M b)
{
	M c=emp;
	int i,j,k;
	for(i=0;i<=tot;i++)
		for(j=0;j<=tot;j++)
			for(k=0;k<=tot;k++)
				c.v[i][j]+=a.v[i][k]*b.v[k][j];
	return c;
}
void pm(int y)
{
	while(y)
	{
		if(y&1)	ans=mmul(ans,x);
		x=mmul(x,x),y>>=1;
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&len,&m);
	int i,j,a,b,u;
	tot=1;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%s",str),a=strlen(str);
		u=1;
		for(j=0;j<a;j++)
		{
			b=str[j]-‘a‘;
			if(!p[u].ch[b])	p[u].ch[b]=++tot;
			u=p[u].ch[b];
		}
		p[u].cnt=1;
	}
	build();
	x.v[0][0]=1.0,ans.v[1][1]=1.0;
	for(i=1;i<=tot;i++)
	{
		if(p[i].cnt)
		{
			x.v[i][0]+=1.0;
			for(j=0;j<m;j++)	x.v[i][p[1].ch[j]]+=(ld)1/m;
		}
		else	for(j=0;j<m;j++)	x.v[i][p[i].ch[j]]+=(ld)1/m;
	}
	pm(len+1);
	printf("%.7f",(double)ans.v[1][0]);
	return 0;
}