肝了好多天-动态规划十连-超细腻解析
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了肝了好多天-动态规划十连-超细腻解析相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
【刷题打卡】周末肝了几道动态规划题，写一下我的心得笔记，故事开头，文章循序渐进，如果看官出现头疼不适，望休息，但是别放弃一定要看完！号外：每道题都有单元测试，看官们直接copy就可以debug了。
No.1
最简单的动态规划题目
侄女5岁现在开始学习加减法了，每次做数学都离不开她的小手指，超过5的就开始数另一个手的手指，真是汗颜啊
有一天，我问她
“1+1+1+1+1等于多少？”
“搬起小拇指，就开始数了，5！”
“那么再加一个1呢？”
“当然是6了” -脱口而出
“这次你怎么算这么快的？”
“刚刚不是5吗，加1就是6了啊”
“所以你不需要重新计算，因为你记得之前的答案是5！动态规划就是说：记住之前的东西可以节省时间”
玩归玩，闹归闹，别拿dp开玩笑！\\color{red}{玩归玩，闹归闹，别拿dp开玩笑！}玩归玩，闹归闹，别拿dp开玩笑！
来瞅一眼科普中国科学百科的词条解释
动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域，并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果。
看不完的童鞋跳过，咱整点简单点的
其实刚刚这道题应该算是最简单的动态规划题目了。
我们可以看出这道题有什么特点呢？
我们知道之所以最后一步加1会计算的那么快，大部分要归功于之前计算过答案是5，如果我们把问题归纳为一个子问题，我想要计算每一步的答案，就可以列出一个方程：f(x) = f(x -1) + 1, 大家别对f(x)发怵，就把它当做一个简单的方法。
其中，f(x)为第几步的值，设定一个初始值，x > 0, 则第一步
f(1) = 1;
f(2) = f(1) + 1;
…
f(6) = f(5) + 1
在程序的世界里，用什么东东来存一个可以记录之前结果值的数据结构呢？
显而易见：数组呗。直接利用下标来存，巴适, 这就是动态规划里的动态，规划就是限定一些边界和初始化。
看到这里，老铁，你就会动态规划了，来看第二题。
No.2
leecode 322: 你有三种硬币，2元、5元、7元，每种硬币足够多，买一本书需要27元，用最少的硬币组合
怎么感觉像是回到了小学应用题？
–简单分析一下： 最小硬币组合 -> 尽量用大的硬币
这傻不拉几的题谁出的，这么简单
7+7+7=21,21+2+2+2=27， 6枚硬币
卧槽
7+5+5+5+5=27， 5枚硬币
我们可以很暴力的想一想，从大往小的算，可以加起来不超过27，比如
7+7+7+7 > 27 (排除）
7+7+7+5 或者 7 +7 +7+2+2+2 6枚
…
穷举太慢了，还会涉及到很多的重复计算，如果我想要27以内的任何值最小的硬币组合呢，想想都头大了吧。
既然计算机可以通过内存保存之前的内容，又快，很明显，我们开一个数组来保存之前的状态。
重点预警
1.1. 动态规划组成部分1：确定状态
简单的说，解动态规划的时候需要开一个数组，数组的每个元素f[i]或者f[i][j]代表什么，类似数学题中x, y, z代表什么
解动态规划需要两个意识：
- 最后一步
- 子问题
最后一步
刚刚第一题不是说了嘛，最后一步的计算结果是5。对于这道题，虽然我们不知道最优策略是什么，但是最优策略肯定是K枚硬币，a1, a2, …ak面值加起来是27
所以一定有一枚最后的硬币:ak.
除掉这么硬币，前面硬币的面值加起来是27-ak
关键点1：
- 我们不关心前面的k-1枚硬币是怎么拼出27-ak的（可能有一种拼法，也可能有100种拼法），而且我们现在甚至还不知道ak和K, 但是我们确定前面的硬币拼出了27-ak
关键点2：
- 因为是最优策略， 所以拼出27-ak的硬币数一定要最少，否则这就不是最优策略了
子问题
- 所以我们就要求：最少用多少枚硬币可以拼出27-ak
- 原问题是最少用多少枚硬币拼出27
- 我们将原问题转化了一个子问题，而且规模更小：27-ak
- 为了简化定义， 我们设状态f(x）=最少用多少枚硬币拼出x
等等，我们还不知道最后的那枚硬币ak是多少
- 很明显，最后的那枚硬币只能是2,5或者7
- 如果ak是2， f(27)应该是f(27-2)+1(1代表最后一枚硬币2）
- 如果ak是5， f(27)应该是f(27-5)+1(1代表最后一枚硬币5）
- 如果ak是7， f(27)应该是f(27-7)+1(1代表最后一枚硬币7）
所以使用最少的硬币数=f(27) = min{f(27-2)+1, f(27-5)+1, f(27-7)+1}
1.2. 动态规划组成部分2：转移方程
设状态f(x)=最少用多少枚硬币拼出x
对于任意的x : f(X) = min{f(X-2)+1, f(X-5)+1, f(X-7)+1}
1.3. 动态规划组成部分2：初始条件和边界情况
提出问题
- x-2, x-5, x-7 小于0怎么办？
- 什么时候停下来？
1.3.1
如果不能拼出Y, 就定义f[Y] = 正无穷
例如f[-1], f[-2] = 正无穷
例如：拼不出f[1]=min{f(-1)+1, f(-3)+1, f(-6)+1}
初始条件：f[0] = 0
2.4. 动态规划组成部分2：计算顺序
计算：f[1], f[2], … f[27]
当我们计算到f[x], f[x-2], f[x-5], f[x-7] 都已经得到结果了
如图：
上图7只需要一个硬币。
f[x] = 最少用多少枚硬币拼出x
f[x] = ∞ 表示无法用硬币拼出x
参考代码
public static int coinChange(int [] A, int M ) {
int[] f = new int[M+1];
int n = A.length;
f[0] = 0;
int i,j;
for (i = 1; i<=M; i++) {
f[i] = Integer.MAX_VALUE;
for (j = 0; j< n;j++) {
// 边界条件判断
if (i >= A[j] && f[i - A[j]] != Integer.MAX_VALUE) {
f[i] = Math.min(f[i - A[j]] + 1, f[i]);
// System.out.println(i + "=" +f[i]);
}
}
}
if (f[M] == Integer.MAX_VALUE) {
f[M] = -1 ;
}
return f[M];
}
@Test
public void isCoinChange() {
int xx = {1,2,3};
int b = 6;
int i = coinChange(xx, b);
Assert.assertNotNull(i);
}
😄
核心代码就4行，是不是很简单 \\color{red}{核心代码就4行，是不是很简单~}核心代码就4行，是不是很简单
No.3
leecode 62 ：不同路径
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
看了上面的解题步骤，按部就班的来
2.1. 动态规划组成部分1：确定状态
最后一步
无论机器人用何种方式到达右下角，总有最后挪动的一步：-向右或者向下
如果所示，我们设右下角的坐标为(m-1,n-1)
那么最后一步的前一步机器人的位置在（m-2,n-1)或者(m-1,n-2)
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子问题
那么，如果机器人有x种方式从左上角走到(m-2,n-1), 有Y种方式从左上角走到(m-1,n-2), 则机器人有X+Y的方式走到(m-1,n-1)
问题转化为，机器人有多少种 方式从左上角走到(m-2,n-1)或者(m-1,m-2）
如果走到是(m-2,n-1)如图：
我们可以直接干掉最后一列
同理如果是走到(m-1,n-2)行就减少一行。
状态：
设f[i][j]为机器人有多少种方式从左上角走到(i,j)
2.2. 动态规划组成部分2：转移方程
对于任意一个格子：
f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]
1 2 3
1代表机器人有多少种方式走到[i][j]
2代表机器人有多少种方式走到f[i-1][j]
3代表机器人有多少种方式走到f[i][j-1]
2.3. 动态规划组成部分3：初始条件和边界情况
初始条件：f[0][0]=1,因为机器人只有一个方式到左上角
边界情况：i=0或j=0，则前一步只能有一个方向过来，也就是说第0行或者第0列，每走一步只有一种情况，则f[i][j] = 1,其他区域都满足转移方程。
3.4. 动态规划组成部分4：计算顺序
按行计算，为什么按行计算呢？
对于这道题来说，按行计算在计算到f[1][1]时，f[0][1]和f[1][0]都已经计算了，同样按列计算这两坐标也计算了，不用再次计算。
- f[0][0] = 1
- 计算第0行：f[0][0],f[0][1],…,f[0][n-1]
- 计算第1行：f[1][0],f[1][1],…,f[1][n-1]
- …
- 计算第m-1行：f[m-1][0],f[m-1][1],…,f[m-1][n-1]
时间复杂度：O(mn)
参考代码
public int uniquePaths(int m, int n) {
int[][] f = new int[m][n];
int i,j;
for (i = 0; i<m; i++) {
for (j = 0; j< n; j++) {
if (i == 0 || j == 0) {
f[i][j] = 1;
} else {
f[i][j] = f[i -1][j] + f[i][j-1];
}
}
}
return f[m-1][n-1];
}
@Test
public void isUniquePaths() {
int i = uniquePaths(3, 3);
Assert.assertNotNull(i);
}
能看到这里的朋友，你已经超过80%的人，可能现在你的脑袋开始有点晕了，刷题就是这样，刷几道就会头疼，休息下就好了，这玩儿意儿看得就是坚持.
总结一下
什么题可以选择动态规划来做？
1.计数
- 有多少种方式走到右下角
- 有多少种方法选出k个数是的和是sum
2.求最大值最小值
- 从左上角走到右下角路径的最大数字和
- 最长上升子序列长度
3.求存在性
- 取石子游戏,先手是否必胜
- 能不能选出k个数使得和是sum
好叻！接下来咱们整第四道题。
No.4
leecode 5. 最长回文子串
给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。
示例 1：输入: “babad”
输出: “bab” 注意: “aba” 也是一个有效答案。
示例 2：输入: “cbbd”
输出: “bb”
看了之前的文章，我们就四步走吧
1.1. 动态规划组成部分1：确定状态
简单的说，解动态规划的时候需要开一个数组，数组的每个元素f[i]或者f[i][j]代表什么，类似数学题中x, y, z代表什么
在这道题中，我们定义f[i][j] 表示字符串 s 的第 i 到 j 个字母组成的串是否为回文串
解动态规划需要两个意识：
- 最后一步
- 子问题
最后一步
我们用示例一来讲解，下图是第一步和第二步的判断过程，很明显最后一步为下标为4的字母b与前面所有元素进行比较，得出最长的回文子串。
子问题
我们可以看到如果f[i] =f[j]，要判定它是一个回文串，需要判定
f[i]j] = f[i+1]f[j-1] ： 从i到j是一个回文串，那么从i+1到j-1一定也是一个回文串
也就是如上图需要判定a=a
1.2. 动态规划组成部分2：转移方程
对于从i到j长度的字符串，判定它是一个回文串：
f[i]j] = f[i+1]f[j-1]
同时我们也知道，f[i+1][j-1]这是一个已知的，因为最后一步的上一步已经将结果保存,也就是f[i+1][j-1] = f[i+2]f[j-2]
1.3. 动态规划组成部分3：初始条件和边界情况
当剩余判定字母个数<3 并且 f[i] = f[j]，它一定是回文串。
对于字母本身来说f[i][i],从i到i的字符串，它也是回文。
1.4. 动态规划组成部分4：计算顺序
如上图，我们用j去匹配0~i (i < j)
它的时间复杂度是On2,由于是二维数据空间复杂度也是On2
当然也有其他的解决办法如中心扩散和马拉车。
参考代码
// 动态规划
public String longestPalindrome(String s) {
// 特判
int len = s.length();
if (len < 2) {
return s;
}
int maxLen = 1;
int begin = 0;
// dp[i][j] 表示 s[i, j] 是否是回文串
boolean[][] dp = new boolean[len][len];
char[] charArray = s.toCharArray();
for (int i = 0; i < len; i++) {
dp[i][i] = true; // 对本身来说就是回文
}
for (int j = 1; j < len; j++) {
for (int i = 0; i < j; i++) {
if (charArray[i] != charArray[j]) {
dp[i][j] = false;
} else {
if (j - i < 3) {
dp[i][j] = true;
} else {
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1]; // 要满足这个条件，必需先满足j - i > 3考虑边界
}
}
// 只要 dp[i][j] == true 成立，就表示子串 s[i..j] 是回文，此时记录回文长度和起始位置
if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxLen) {
maxLen = j - i + 1;
begin = i;
}
}
}
return s.substring(begin, begin + maxLen);
}
@Test
public void islongestPalindrome() {
String i = longestPalindrome("babaxaxab");
Assert.assertNotNull(i);
}
准备来一道非常实用的题目👍 👍 👍
No.5
leecode 10. 正则表达式匹配
给你一个字符串 s 和一个字符规律 p，请你来实现一个支持 ‘.’ 和 ‘*’ 的正则表达式匹配。
‘.’ 匹配任意单个字符
‘*’ 匹配零个或多个前面的那一个元素
所谓匹配，是要涵盖 整个 字符串 s的，而不是部分字符串。
示例 1：
输入：s = “aab” p = "c * a * b " (*号无空格）
输出：true
解释：因为 ‘*’ 表示零个或多个，这里 ‘c’ 为 0 个, ‘a’ 被重复一次。因此可以匹配字符串 “aab”。
示例 2：
输入：s = “mississippi” p = “mis_is_p*.”
输出：false
解释：第二个*不能匹配si
2.1. 动态规划组成部分1：确定状态
wc，你倒是说说怎么确定要用动态规划来做啊？
- 看题目，需要逐步匹配
- 没有时间复杂度空间复杂度限制，你可以选择>On的
- 跟前面题很类似，这里需要考虑* 和 .的情况。
- 尝试根据步骤写出转移方程
在这道题中，我们定义f[i][j] 表示字符串 s 的前 i 个字符与 字符串p的前 j 个字符是否匹配
解动态规划需要两个意识：
- 最后一步
- 子问题
最后一步
我们用示例来讲解 ：s = “aaab” p = “aa*b”
根据题目意思，我们知道s要被全匹配，我们直接用s去匹配p字符串的每一个字符，这样我们的最后一步就是用s字符串中的b字符去匹配p字符串的每一个字符，匹配最后一个字符为b是否相等。
子问题
有几种情况需要讨论，也就是用s去匹配p最后一个匹配的字符j
-
如果都是字符，只需要判断：f[i][j] = f[i-1][j-1]
-
如果是“.” ,说明可以匹配s的最后任意一个字符，也只需：
f[i][j] = f[i-1][j-1]
-
如果是“*”，分两种情况一种是匹配零个字符，一种是匹配1个或多个字符
如果是匹配零个字符：f[i][j] = f[i][j-2] ，因为如果j是*，我们就可以对p的j-1匹配任意次数，当然零次就是j-2了。
如果是匹配1个或多个字符：f[i][j] = f[i-1][j]，匹配 s 末尾的一个字符，将该字符扔掉，而该组合还可以继续进行匹配,简单点说，零个我们判定了，如果是一个我们扔掉一个字符，如果能匹配则保存，如果匹配两个，我们是知道匹配s的上一个字符的结果的，直接匹配就行，同样匹配多个也是如此。（匹配多个是根据前一个的匹配结果得出来的）
2.2. 动态规划组成部分2：转移方程
在子问题中我们分析的几种情况就是转移方程
2.3. 动态规划组成部分3：初始条件和边界情况
因为要涉及到i-1和j-1，注意边界
boolean[][] f = new boolean[m + 1][n + 1];
f[0][0]=true
2.4. 动态规划组成部分4：计算顺序
用s去匹配p字符串的每一个字符
它的时间复杂度是On_m,由于是二维数据空间复杂度是On_m
参考代码
public boolean isMatch(String s, String p) {
int m = s.length();
int n = p.length();
boolean[][] f = new boolean[m + 1][n + 1];
f[0][0] = true;
for (int i = 0; i <= m; ++i) {
for (int j = 1; j <= n; ++j) {
if (p.charAt(j - 1) == '*') {
f[i][j] = f[i][j - 2];
if (matches(s, p, i, j - 1)) {
f[i][j] = f[i][j] || f[i - 1][j];
}
} else {
if (matches(s, p, i, j)) {
f[i][j] = f[i - 1][j - 1];
}
}
}
}
return f[m][n];
}
public boolean matches(String s, String p, int i, int j) {
if (i == 0) {
return false;
}
if (p.charAt(j - 1) == '.') {
return true;
}
return s.charAt(i - 1) == p.charAt(j - 1);
}
@Test
public void isisMatch() {
boolean i = isMatch("aa", "a*");
Assert.assertNotNull(i);
}
No.6
继续干，继续干❤️❤️❤️❤️
leecode 32. 最长有效括号
给你一个只包含 ‘(’ 和 ‘)’ 的字符串，找出最长有效（格式正确且连续）括号子串的长度。
示例 1：
输入：s = “(()”
输出：2
解释：最长有效括号子串是 “()”
示例 2：
输入：s = “)()())”
输出：4
解释：最长有效括号子串是 “()()”
示例 3：
输入：s = “”
输出：0
提示：
0 <= s.length <= 3 * 104
s[i] 为 ‘(’ 或 ‘)’
看了之前的文章，我们就四步走吧
1.1. 动态规划组成部分1：确定状态
简单的说，解动态规划的时候需要开一个数组，数组的每个元素f[i]或者f[i][j]代表什么，类似数学题中x, y, z代表什么
wc，你倒是说说怎么确定要用动态规划来做啊？
- 看题目，需要逐步验证最长长度
- 没有时间复杂度空间复杂度限制，你可以选择>=On的
- 跟前面题很类似，这里需要考虑生成括号的情况。
- 尝试根据步骤写出转移方程
在这道题中，我们定义d[i]表示以下标 ii字符结尾的最长有效括号的长度
解动态规划需要两个意识：
- 最后一步
- 子问题
最后一步
我们用下图来讲解，i作为最后一个括号判断，我们只对为左括号做判断，左括号分两种情况，具体看子问题拆分。 
子问题
第一种情况为： …()
因为括号前面可能还有有效的括号，之前我们定义了d[i] 表示下标i字符结尾的最长有效括号的长度，所以可以推导出：
d[i] = d[i-2] + 2
第二种情况为： …))
如图，下标为2：i - d[i-1] -1
提出一个疑问：在下标2和5之前可能存在多个有效括号，其实都是d[i-1],因为我们定义的：d[i-1] 表示下标i-1字符结尾的最长有效括号的长度
最长有效括号的长度 ：
d[i] = x + y
这里x = d[i - d[i-1] -2]
这里y = d[i-1] + 2
因此 ：d[i] = d[i - d[i-1] -2] + d[i-1] + 2
1.2. 动态规划组成部分2：转移方程
d[i] 表示下标i字符结尾的最长有效括号的长度
d[i] = d[i - d[i-1] -2] + d[i-1] + 2
1.3. 动态规划组成部分3：初始条件和边界情况
跟之前有些题一样，我们需要判断第i字符去判断第i-1个字符，所以i从1开始遍历，判断数组i-2需要考虑越界。
① …() : i >=2
② …)) : i - d[i-1] > 0 对应 ：())
1.4. 动态规划组成部分4：计算顺序
从左往右
它的时间复杂度是On,空间复杂度也是On
当然也有其他的解决办法如栈
参考代码
public int longestValidParentheses(String s) {
int maxans = 0;
int[] dp = new int[s.length()];
for (int i = 1; i < s.length(); i++) {
if (s.charAt(i) == ')') {
if (s.charAt(i - 1) == '(') {
dp[i] = (i >= 2 ? dp[i - 2] : 0) + 2;
} else if (i - dp[i - 1] > 0 && s.charAt(i - dp[i - 1] - 1) == '(') {
dp[i] = dp[i - 1] + ((i - dp[i - 1]) >= 2 ? dp[i - dp[i - 1] - 2] : 0) + 2;
}
maxans = Math.max(maxans, dp[i]);
}
}
return maxans;
}
@Test
public void isLongestValidParentheses() {
String s = "()(())";
longestValidParentheses(s);
}
No.7
这道题相对于就简单一些啦—来自秃顶的工程师👥👥👥👥👥
leecode 42. 接雨水
给定 n 个非负整数表示每个宽度为 1 的柱子的高度图，计算按此排列的柱子，下雨之后能接多少雨水。
输入：height = [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1]
输出：6
解释：上面是由数组 [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1] 表示的高度图，在这种情况下，可以接 6 个单位的雨水（蓝色部分表示雨水）。
示例 2：
输入：height = [4,2,0,3,2,5]
输出：9
提示：
n == height.length
0 <= n <= 3 * 104
0 <= height[i] <= 105
看了之前的文章，我们就四步走吧
这道题相对而言，提升了难度，常规的题，我们的计算顺序一般是从左到右，或者从右到左，亦或是从上到下。
1.1. 动态规划组成部分1：确定状态
简单的说，解动态规划的时候需要开一个数组，数组的每个元素f[i]或者f[i][j]代表什么，类似数学题中x, y, z代表什么
wc，你倒是说说怎么确定要用动态规划来做啊？
- 看题目，需要逐步验证最长长度
- 没有时间复杂度空间复杂度限制，你可以选择>=On的
- 跟前面题很类似，这里需要考虑每一步最高的高度取低位高度，因为可能形成低洼
- 尝试根据步骤写出转移方程
在这道题中，我们定义d[i]表示以下标 i字符结尾的最多的有效雨水
解动态规划需要两个意识：
- 最后一步
- 子问题
最后一步
我们可以利用填满法来降低复杂度。去掉低洼的情况。
先从左到右来看，求出每个位置的最大高度（深度）
从右往左看，求出每个位置的最大高度
我们在来看它们重叠之后的效果
这样每个位置的最小值 - 高度就是每个位置的蓄水值。
子问题
我们存储了从左到右和从右到左每个位置的最大值
从重叠的图中可以看到最后一个位置的最小值为2，减去高度，蓄水值为0.
1.2. 动态规划组成部分2：转移方程
ans += Math.min(left_max[i], right_max[i]) - height[i];
1.3. 动态规划组成部分3：初始条件和边界情况
1.4. 动态规划组成部分4：计算顺序
从左到右 + 从右到左
它的时间复杂度是On,空间复杂度也是On
当然也有其他的解决办法如栈
参考代码
public int trap(int[] height) {
if (height == null || height.length == 0)
return 0;
int ans = 0;
int size = height.length;
int[] left_max = new int[size];
int[] right_max = new int动态规划 ＜ 第 3 天 ＞