Jordan标准形03——循环不变子空间
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设 n n n 维F-空间 V V V 上的线性变换 A \\mathcal{A} A 的特征多项式为 g ( λ ) g(\\lambda) g(λ), 则 g ( A ) = O . g(\\mathcal{A})=\\mathcal{O} . g(A)=O.
∀
k
∈
Z
>
0
\\forall k \\in \\mathbb{Z}_{>0}
∀k∈Z>0, 设
λ
k
=
q
(
λ
)
g
(
λ
)
+
r
(
λ
)
\\lambda^{k}=\\boldsymbol{q}(\\lambda) \\boldsymbol{g}(\\lambda)+\\boldsymbol{r}(\\lambda)
λk=q(λ)g(λ)+r(λ), 其中
deg
(
r
(
λ
)
)
<
n
.
\\operatorname{deg}(\\boldsymbol{r}(\\lambda))<\\boldsymbol{n} .
deg(r(λ))<n. 于是有
A
k
=
q
(
A
)
g
(
A
)
+
r
(
A
)
=
r
(
A
)
,
A
k
α
=
r
(
A
)
α
,
∀
α
∈
V
\\mathcal{A}^{k}=\\boldsymbol{q}(\\mathcal{A}) \\boldsymbol{g}(\\mathcal{A})+\\boldsymbol{r}(\\mathcal{A})=\\boldsymbol{r}(\\mathcal{A}), \\quad \\mathcal{A}^{k} \\alpha=\\boldsymbol{r}(\\mathcal{A}) \\alpha, \\forall \\alpha \\in \\boldsymbol{V}
Ak=q(A)g(A)+r(A)=r(A),Akα=r(A)α,∀α∈V
V
V
V 的由
A
\\mathcal{A}
A 与
α
∈
V
\\alpha \\in V
α∈V 所确定的Krylov子空间:
I
(
α
)
:
=
span
(
α
,
A
α
,
A
2
α
,
⋯
)
=
{
c
0
α
+
c
1
A
α
+
c
2
A
2
α
+
⋯
+
c
k
A
k
α
∣
k
∈
Z
≥
0
,
c
i
∈
F
,
1
≤
i
≤
k
}
=
{
(
c
0
1
V
+
c
1
A
+
c
2
A
2
+
⋯
)
α
∣
c
i
∈
F
,
∀
i
∈
Z
≥
0
}
=
{
f
(
A
)
α
∣
f
(
x
)
∈
F
[
x
]
}
\\begin{aligned} I(\\alpha) &:=\\operatorname{span}\\left(\\alpha, \\mathcal{A} \\alpha, \\mathcal{A}^{2} \\alpha, \\cdots\\right) \\\\ &=\\left\\{c_{0} \\alpha+c_{1} \\mathcal{A} \\alpha+c_{2} \\mathcal{A}^{2} \\alpha+\\cdots+c_{k} \\mathcal{A}^{k} \\alpha \\mid k \\in \\mathbb{Z}_{\\geq 0}, c_{i} \\in F, 1 \\leq i \\leq k\\right\\} \\\\ &=\\left\\{\\left(c_{0} 1_{V}+c_{1} \\mathcal{A}+c_{2} \\mathcal{A}^{2}+\\cdots\\right) \\alpha \\mid c_{i} \\in F, \\forall i \\in \\mathbb{Z}_{\\geq 0}\\right\\}=\\{f(\\mathcal{A}) \\alpha \\mid f(x) \\in F[x]\\} \\end{aligned}
I(α):=span(α,Aα,A2α,⋯)={c0α+c1Aα+c2A2α+⋯+ckAkα∣k∈Z≥0,ci∈F,1≤i≤k}={(c01V+c1A+c2A2+⋯)α∣ci∈F,∀i∈Z≥0}={f(A)α∣f(x)∈F[x]}
也称为由
α
\\alpha
α 关于
A
\\mathcal{A}
A 生成的循环不变子空间.
例
1
\\Large\\color{violet}{例1}
例1 设
α
∈
V
\\alpha \\in V
α∈V 是
A
\\mathcal{A}
A 的特征向量, 则
A
α
=
λ
α
⇒
A
k
α
=
λ
k
α
⇒
\\mathcal{A} \\alpha=\\lambda \\alpha \\Rightarrow \\mathcal{A}^{k} \\alpha=\\lambda^{k} \\alpha \\Rightarrow
Aα=λα⇒Akα=λkα⇒
I
(
α
)
=
{
f
(
A
)
α
∣
f
(
x
)
∈
F
[
x
]
}
=
{
f
(
λ
)
α
∣
f
(
x
)
∈
F
[
x
]
}
=
span
(
α
)
⇒
dim
I
(
α
)
=
1
I(\\alpha)=\\{f(\\mathcal{A}) \\alpha \\mid f(x) \\in F[x]\\}=\\{f(\\lambda) \\alpha \\mid f(x) \\in F[x]\\}=\\operatorname{span}(\\alpha) \\Rightarrow \\operatorname{dim} I(\\alpha)=1
I(α)={f(A)α∣f(x)∈F[x]}={f(λ)α∣f(x)∈F[x]}=span(α)⇒dimI(α)=1
反之, 设
dim
I
(
α
)
=
1
\\operatorname{dim} I(\\alpha)=1
dimI(α)=1
⇒ α \\Rightarrow \\alpha ⇒α 是 I ( α ) I(\\alpha) I(α) 的基向量 ⇒ A α ∈ I ( α ) = { c α ∣ c ∈ F } \\Rightarrow \\mathcal{A} \\alpha \\in I(\\alpha)=\\{c \\alpha \\mid c \\in F\\} ⇒Aα∈I(α)={cα∣c∈F}
⇒ A α = k α \\Rightarrow \\mathcal{A} \\alpha=\\boldsymbol{k} \\alpha ⇒Aα=kα 对某 k ⇒ α \\boldsymbol{k} \\quad \\Rightarrow \\alpha k⇒α 是 A \\mathcal{A} A 的特征向量.
α ∈ V \\alpha \\in V α∈V 是 A \\mathcal{A} A 的特征向量 ⇔ dim I ( α ) = 1 \\Leftrightarrow \\operatorname{dim} I(\\alpha)=1 ⇔dimI(α)=1
dim I ( α ) \\operatorname{dim} I(\\alpha) dimI(α) 可用于刻画 α \\alpha α 离特征向量"有多远".