矩阵02——Gauss消元法与矩阵的初等变换行阶梯形矩阵
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了矩阵02——Gauss消元法与矩阵的初等变换行阶梯形矩阵相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
引 入
代数重要研究对象:
m
m
m 个方程
n
n
n 个变元的方程组.
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
b
2
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
⋯
+
a
m
n
x
n
=
b
m
\\left\\{\\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\\\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\\\ \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\\\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m} \\end{array}\\right.
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm
令
A
=
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋯
⋯
⋯
⋯
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
)
,
X
=
(
x
1
x
2
⋮
x
n
)
,
b
=
(
b
1
b
2
⋮
b
m
)
⇒
A=\\left(\\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1 n} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2 n} \\\\ \\cdots & \\cdots & \\cdots & \\cdots \\\\ a_{m 1} & a_{m 2} & \\cdots & a_{m n}\\end{array}\\right), \\quad X=\\left(\\begin{array}{c}x_{1} \\\\ x_{2} \\\\ \\vdots \\\\ x_{n}\\end{array}\\right), \\quad b=\\left(\\begin{array}{c}b_{1} \\\\ b_{2} \\\\ \\vdots \\\\ b_{m}\\end{array}\\right) \\Rightarrow
A=⎝⎜⎜⎛a11a21⋯am1a12a22⋯am2⋯⋯⋯⋯a1na2n⋯amn⎠⎟⎟⎞,X=⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞,b=⎝⎜⎜⎜⎛b1b2⋮bm⎠⎟⎟⎟⎞⇒ 矩阵方程
A
m
×
n
X
n
×
1
=
b
m
A_{m \\times n} X_{n \\times 1}=b_{m}
Am×nXn×1=bm
齐 次 方 程 组 \\large{\\color{red}{\\boxed{\\color{green}{齐次方程组 }}}} 齐次方程组 齐次方程组: A X = 0 ; \\quad A X=0 ; AX=0;
非齐次方程组: A X = b , b ≠ 0 ( b 中 至 少 有 一 个 分 量 不 为 零 ) \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{X}=\\boldsymbol{b}, \\boldsymbol{b} \\neq \\mathbf{0} \\quad \\mathbf{( b 中 至 少 有 一 个 分 量 不 为 零 ) ~} AX=b,b=0(b中至少有一个分量不为零)
X 0 = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) X_{0}=\\left(\\begin{array}{c}x_{1} \\\\ x_{2} \\\\ \\vdots \\\\ x_{n}\\end{array}\\right) X0=⎝高斯消元法