矩阵线性代数笔记整理汇总，超全面

Posted 2021-06-24 炫云云

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矩阵线性代数笔记整理汇总，超全面

1. 01数域、数域的性质定理
2. 02矩阵01 ——概念、运算和基本矩阵、对角矩阵、方幂、数量矩阵、转置矩阵、对称矩阵、逆矩阵、奇异矩阵、三角矩阵、矩阵乘积的行列式与秩
3. 03矩阵02——初等变换与高斯消元法、行阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵、行阶梯形状与方程组解的关系、相抵
4. 04矩阵03——逆矩阵、逆矩阵的求解、可逆矩阵的判别、伴随矩阵、以及性质、可逆矩阵的等价条件、克拉默法则的另一种推导法、矩阵乘积的秩的性质
5. 05矩阵04——分块矩阵、分块矩阵的运算、分块矩阵的初等变换、分块初等矩阵的性质、按行分块、按列分块
6. 06向量及其坐标表示、向量的方向角与方向余弦、向量组共线与共面的条件、向量的加法与数乘运算、向量组的线性组合、二维向量的基向量分解、三维向量的基向量分解、用坐标做向量的数乘
7. 07向量的点积、数量积、两向量垂直的条件、投影与投影向量、向量的正交分解、几个不等式、用坐标计算数量积
8. 08向量的叉积、向量积、用坐标行列式计算向量积、二重外积
9. 09向量的混合积、向量之间的位置关系、用坐标行列式计算混合积、三向量共面的条件
10. 10空间直线方程、参数方程、向量式方程、点向式方程、两点式方程、一般方程、空间直线的一般方程化为点向式方程
11. 11空间平面方程、参数方程、向量式方程、行列式方程、三点式方程、点法式方程、一般方程
12. 12 行列式01—定义、计算 与性质、排列、逆序数、n 阶行列式、上三角形行列、矩阵的初等行变换与行列式性质
13. 13行列式02—余子式与代数余子式、行列式按行（列）展开法则、行列式计算、范德蒙行列式
14. 14行列式03—克拉默法则、非齐次与齐交线性方程组
15. 15行列式04—k 级子式与余子式、代数余子式、子矩阵、拉普拉斯定理
16. 16 线性方程组——n维向量相关概念、向量组的等价、线性表出、向量组的极大线性无关组、向量组的秩
17. 17 线性方程组——线性方程组解的结构、解的性质、解空间、基础解系、基础解系存在性
18. 18 矩阵——矩阵的秩、行阶梯形矩阵与秩、行列式与秩、特征值与秩、二次型与秩、矩阵秩的计算、关于秩的常用结论_
19. 19 矩阵——矩阵的相抵、相抵标准形、秩1矩阵、矩阵的满秩分解
20. 20矩阵——酉矩阵
21. 21矩阵——Schur分解定理、酉相似下的标准型、Hermite正定矩阵、正规矩阵
22. 22矩阵——向量范数和矩阵范数、p范数、m 1 范数 和F -范数、算子范数、向量加权范数、Schatten范数、Numpy计算范数
23. 23矩阵——LU分解、用LU 分解解线性方程组、LU分解的存在性和唯一性、对称矩阵的 L D L 分解、置换矩阵、PA=LU 分解
24. 24矩阵——条件数与方程组的性态、“病态”矩阵与方程、系数矩阵与右端微小扰动情况、条件数的几何意义
25. 25 矩阵——QR分解、Householder 矩阵、镜面反射
26. SVD奇异值分解
27. 27线性空间01——线性空间、线性相关、线性无关、基和维数、极大线性无关
28. 28线性空间02——坐标、坐标变换与基变换、过度矩阵
29. 29线性空间03——子空间、子空间的交与和、生成子空间、 子空间的维数公式
30. 30线性空间04——子空间的直和、n个子空间的直和、直和分解、直和补
31. 31线性空间05——列空间和零空间、维数
32. 32线性空间06——行空间和左零空间
33. 33线性空间07——四个基本子空间的基与维数_
34. 34线性映射01——映射的概念和性质
35. 35线性映射02—— 线性映射概念与运算、矩阵表示
36. 36线性映射03——线性空间的同构、同构的性质、线性同构
37. 37线性映射04——像与核、核与像的计算、线性映射的维数公式
38. 38线性映射05——代数与代数同构
39. 39线性映射06——线性变换
40. 40线性映射07——线性变换的矩阵表示、线性变换与基的关系、线性变换坐标间的关系、线性变换在不同基下矩阵之间的关系、相似矩阵
41. 41线性映射08——不变子空间、子空间分解
42. 42线性映射9——对偶空间、二重对偶
43. 43特征01——特征值、特征向量、特征值与特征向量的判定、矩阵与线性变换的特征关系、方阵的迹、特征多项式、Hamilton-Cayley 定理、特征值和特征向量基本性质、谱分解、奇异值分解
44. 44特征02——相似对角化与方幂、代数重数与几何重数、可对角化的概念、相似对角化的条件、矩阵方幂的计算
45. 45特征03——最小多项式的概念和性质、广义特征子空间分解
46. 46多项式01——一元多项式和运算
47. 47多项式02——整除
48. 48多项式03——最大公因式与互素、最大公因式及互素的推广
49. 49多项式04——标准分解式、不可约多项式、因式分解及唯一性定理、重因式
50. 50多项式05——多项式函数与根、多项式函数的有关性质、多项式函数的k重根
51. 51多项式06——复系数和实系数多项式
52. 52多项式07——有理系数和整系数多项式、埃森斯坦判别法、整系数多项式的有理根
53. 53多项式08——多元多项式、齐次多项式和对称多项式
54. 54欧氏空间01——内积与欧氏空间、Cauchy-Schwarz不等式、度量矩阵
55. 55欧式空间02——标椎正交基、Schmidt 正交化、正交矩阵、欧氏空间的同构、QR分解
56. 56欧式空间03——正交变换、正交相似标准形
57. 57欧式空间04——正交补、正交投影、内射影
58. 58欧氏空间05——对称变换和对称矩阵、实对称矩阵的标准形、正交相似、正交相似对角化
59. 59—— 二次型及其矩阵表示
60. 60—— 矩阵的合同、矩阵合同的性质、合同的应用、线性替换的矩阵上表示
61. 61—— 化二次型为标准形、矩阵的合同变换求二次型的标准形、二次型的规范形、二次型的秩、复数域上的规范形、实数域上的规范形
62. 62—— 正定二次型、正定二次型的性质、正定矩阵
63. 63相似、合同、相抵
64. 64 ----平面与直线之间的位置关系、平面与直线之间的交角、两直线两平面的位置关系
65. 65 ----点到平面及直线的距离、两异面直线间的距离
66. 66----曲面的方程、柱坐标、球坐标、曲面的参数方程
67. 67---- 曲线的方程、圆柱螺旋线、空间曲线的参数方程、空间曲线的一般方程、球面的交线、维维安尼曲线
68. 68 ----柱面及其方程
69. 69 ----锥面及其方程、圆锥面的方程、一般锥面的方程、锥面方程的特点
70. 70 ----旋转曲面及其方程
71. 71 ----常见二次曲面、椭球面、双曲面、抛物面、二次曲面的种类
72. 72 ----直纹面、二次直纹面、单叶双曲面、双曲抛物面
73. 73 ----空间曲线的投影、投影柱面与投影曲线的方程、二元函数的等值线、等高线的性质
74. 74 ----平面直角坐标变换、平移、旋转、伸缩
75. 75 ----平面二次曲线方程的化简、移轴变换、转轴变换、伸缩变换
76. 76----平面二次曲线的分类、消去二次交叉项、转轴变换、平面二次曲线的不变量、利用不变量确定平面二次曲线的类型和形状
77. 77----空间直角坐标变换、平移、旋转、伸缩
78. 78 ----二次曲面方程的化简、移轴变换、转轴变换、伸缩变换
79. 79 ----二次曲面的分类、二次项系数矩阵的特征多项式、二次项系数矩阵的特征值与特征向量、消去二次交叉项、二次曲面方程中的一次项和常数项的变化
80. 80相似标准形01——lambda矩阵
81. 81相似标准形02——初等变换、初等矩阵、相抵 (等价)、相抵标准形
82. 82相似标准形03——不变因子、行列式因子、相抵标准形的唯一性、用求行列式因子法求标准形
83. 83相似标准形04——相似与λ-矩阵的相抵
84. 84相似标准形05——有理标准形的不变因子、矩阵的有理标准形
85. 85相似标准形06——初等因子、初等因子与不变因子的求法
86. 86相似标准形07——若尔当(Jordan)标准形
87. 87相似标准形08——Jordan标准形
88. 88相似标准形09——JJordan-Chevalley分解、幂零矩阵与幂零变换、幂零矩阵的判别、中国剩余定理、可换线性变换的性质
89. 89相似标准形10——J循环不变子空间