3阶贝塞尔曲线沿线长等距分割方法

Posted 2021-06-04 皮皮黄-机电工程师

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了3阶贝塞尔曲线沿线长等距分割方法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

3阶贝塞尔曲线等距分割

1、引言
2、数学计算
3、应用
4、demo下载

1、引言

贝塞尔(bezier)曲线又称样条曲线，常用的有2阶跟3阶形式，3阶曲线最为常用，其公式（1）为：
在这里插入图片描述
P0/P1/P2/P3为其四个控制点，贝塞尔曲线基础知识站内有相当详细地讲解博文。沿t进行等分，做出的曲线如下图蓝色点所示：

生成的点在沿曲线线长方向上，并不是均匀的。本文意在解决这个问题，实现线长方向上均匀的效果，如下图所示：
在这里插入图片描述

2、数学计算

将（1）式展开，转换为关于t的方程得到（2）式：
在这里插入图片描述

则（2）式简化为（3）式：

将（3）式展开到X,Y方向则有：

根据第二类曲线线长积分公式（4）：

（4）式经过计算后可简化为：

其中：
从0积分到1,得到L，即为3阶贝塞尔曲线的长度。将L分为N段，每次从0开始积分到L/N长度为止得到一个点，该点即为沿线长方向上一个等距划分点。至此，该问题转换为一个求定积分计算。
f(t)的原函数F(t)一般而言是不容易求出的，故采用数值积分的方法，求数值解。
求解定积分比较快速的方法是龙贝格公式，配合二分法或者切线法可以求得等分点对应的t值，最终实现等分效果。