虎书学习笔记3：图形学基础数学（正交基与坐标系二维梯度）

Posted 2021-06-02 Mario cai

关于图形学的基础数学知识
基础数学

标准正交基与坐标系（单位向量互相垂直构成坐标系）
任意两个二位向量，只要他们正交，长度为单位长度，就可构成一个标准正交基
三维中三个向量符合这个条件也构成标准正交基

全局模型储存在的坐标系：全局坐标系
另外的原点p，标准正交基不同的坐标系，我们就要显示储存这些向量。这样的坐标系我们称为参考坐标系。
例如：飞机模拟器
我们有一个全局坐标系
我们也还需要一个位于飞机体的坐标：参考坐标系
参考坐标系能通过全局坐标系转换得来（转换矩阵）


单位向量建立正交基（建立局部坐标系用）
已知一个向量a，需要找出一个标准正交向量u,v,m,使得w的指向与a向量方向相同：

然后求u，v，需要找到与w不共线的向量t，只要t等于w再将最小的元素变成1：
##二维隐式曲线（一种表示几何的函数）
一条曲线可以理解为一群点的集合，可以用隐式方程。方程如下:

这个方程可以理解为圆心为（xc，yc），半径为r的圆，函数值为0则点在圆上。
因为需要将点（x，y）代入才能看出，所以叫隐式方程。
函数f可以看成一个海平面，f等于0大于0小于0三个区域
可以通过代入点（x，y）判断是否在曲线上。
f=0是最基础的方式，然而f可以有不同的值。如图：

可以使用向量简化f（x，y），
可以看出以下性质：点c到点p的向量与自身点积结果为r的平方

简单的解释为：圆周上的点p，就是那些到圆心c的距离为r的点。

二维梯度（对应多种变化所以必须求偏导）
将函数f（x，y）看成高度为f（x，y）的高度图，梯度向量就是指向坡度最大的方向，梯度向量一般就用求偏导得出。

曲线法向量：如果f（x，y）=0，某点梯度向量与曲线在该点处的切向量正交。该梯度向量称为曲线的法向量。
偏导数的几何意义，假设一维函数y，求偏导可拆分为：

可视化一下：

就是切线的斜率。
试着观看高度图情况下，偏导数和梯度的可视化。
例如：假设点（a，b）附近是一个平面。有明确的上坡和下坡，与上坡下坡方向垂直的方向就是该平面的水平方向。
该平面与平面f（x，y）=0的任意交线都将在这个水平方向上。因此，上坡/下坡方向正交于平面与f（x，y）的交线。

偏导数的定义：

梯度向量为是求偏导？
解：曲面在（x，y）处的高度为f(x,y)，是指在（x，y）附近的足够小区域内，认为曲面是局部平坦的。