2021 年五一数学建模比赛 B 题（第四问至第六问）

Posted 2021-05-29 zhuo木鸟

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了2021 年五一数学建模比赛 B 题（第四问至第六问）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

文章目录

第四问
- 第一理解
- 第二理解
第五问
第六问
代码与提问

本人专挑数据挖掘、机器学习和 NLP 类型的题目做，有兴趣也可以逛逛我的 数据挖掘竞赛专栏。

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第四问

题目是找出不同区域，相关性最高的事件。我们首先整理出事件类型-事件发生密度表格，如下所示：
在这里插入图片描述

什么是相关性，我觉得有两个理解：

相关性是否指：事件对区域而言呢？也就是找出，该区域某事件发生的密度，在其他区域时，发生密度相差很大的事件，可否如此理解？
相关性是否指：事件-事件呢？也就是，不同区域，事件 A 和事件 B 的相关性最大，找出 A 和 B 呢？

第一理解

对于第一个理解，可以沿着上表的行，求出事件的方差，方差最大的那个，就是啦。求出方差如下：
在这里插入图片描述

于是，事件 7 是不同区域相关性最大的。

第二理解

第二个理解，沿着行，求出数据的相关性矩阵，找出最大的那个相关性，对应的两个事件，就是啦。

计算偏相关矩阵（使用Pearson相关系数），偏相关系数可以删除其他因素的影响，所以使用偏相关系数：
在这里插入图片描述

从上图可以找出，事件 3 和事件 7 在不同区域的相关性最高。

第五问

找出人口密度和事件密度的关系，首先就得统计出数据咯：
在这里插入图片描述
其中事件密度是根据 16-20 年的总数据算出来的。

如何找出关系呢？还记得问题二的方法吗？

我们首先画出数据：
在这里插入图片描述

大致可以猜测出，人口密度越大，事件密度（16-20年）越大。

采用第二问的一元回归方法，用线性函数去拟合数据，可得：

在这里插入图片描述

我们可以用 R 方来评价模型的效果，计算出模型的 R 方为：0.9996，可见模型的效果很好。

于是，人口密度和事件密度（16-20）： $y = 0.4116 x - 0.02374$

第六问

第六问是：

目前该地有两个消防站，分别位于区域J和区域N，请依据附件1和附件2，综合考虑各种因素，建立数学模型，确定如果新建1个消防站，应该建在哪个区域？如果在2021-2029年每隔3年新建1个消防站，则应依次建在哪些区域？

从第四问可知，由于人口密度和事件密度呈现线性关系，且是正相关，所以我们只需要考虑人口密度即可。

先看第一问：该地已经有两个消防站，另一个消防站该建在哪里？

我们不妨先考虑简单的：如果没有消防站，那么消防站应该建在哪里？

若没有消防站，那么，我们可以用谷歌的网页排行算法来解决这个问题。具体是：

把每一个节点看成网页
把边看成是网页到网页的链接，边的权重视为链接的权重
把人口密度视为网页的权重

于是：就可以搜索出最重要的网页，也就是，最重要的节点！

那么，边的权重，以及网页的权重，该如何设置呢？

首先得来看看 PageRank 算法的原理：
在这里插入图片描述

PageRank 算法

PageRank 算法要求每一个节点的权重之和是 1，权重是为了模拟每个网页被点击的概率（所有网页被点击的概率当然是 1）

PageRank 算法要求每一个节点，散发出的所有边，的权重之和，为 1。

然后，PageRank 的算法如下（篇幅原因，就用专业的语言描述吧）：

设每一个节点的权重为 $N_i$ ， $i$ 是节点编号，为了方便，就即为 $\\{1,2,\\cdots,n\\}$ ， $n$ 为节点的数量；若 $i$ , $j$ 存在边，记边的权重为 $w_{ij}$ 。设收敛标准为：tol，最大迭代步长为：T，当前步长为：t，设权重传递时的损失参数为 $\\alpha$ 算法如下：

$\\begin{aligned} &initial N_i(0) \\\\ &t=0 \\\\ &\\text{for ~ }\\text{i ~ in ~ }n: \\\\ &\\text{~~~~~~~~for ~ }\\text{j ~ in ~ } w_i: \\\\ &\\text{ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ } N_j(t+1) += \\alpha \\cdot N_i(t) \\cdot w_{ij}\\\\ &if \\text{~~~~}t \\leq T:\\\\ &\\text{~~~~~~~~}break\\\\ &while \\sum|{N_i(t-1)-N_i(t)}|\\leq tol \\end{aligned}$

应用 PageRank

如何应用呢？

首先如何将节点设置为总和为 1？我认为直接将人口密度进行标准化即可。

如何将某节点的边，设置为总和为 1？

当两个点的距离越大时，应该赋予一个较大的权重。因为距离越远，意味着越需要消防站。因此，如某点到 1，2, 3 的距离为 40,50,10，则权重分别为 0.4, 0.5, 0.1；

带入 PageRank 算法，可得结果如下：
在这里插入图片描述

因此，当没有消防站时，最重要的节点是 D。此时应该在 D 中设置消防站。从这个结果来看，还算是比较合理，毕竟 D 节点链接的边最多，而且人口密度也比较多：
在这里插入图片描述

J 和 N 设置消防站后

没有设置消防站是，我们用人口密度的标准化，作为节点的权重。

在 J 和 N 设置消防站后，只需要将 J 和 N 的权重设置为 0 即可（或负数，意味着其链接的点的权重也会在迭代过程中下降），这里设置为负数也即，标准化后，J 和 N 的权重为 $ n(w)/15$。其中 $n (w)$ 为该节点的边数。

之所以设置为 $- 2 / 15$ ，是因为图的节点总数为 15 个，而我们认为一个消防站所起到的扑灭功能，顶的上平均意义上的 $n (w)$ 个节点权重。当然，这个数值的设置有主观性，it depends。

此时依旧使用 PageRank 算法，可得：
在这里插入图片描述

逐年建立消防站（失败的尝试）

因为不知道人口密度的变化，所以按照我们的理论，这是一个静态模型。2021 到 2029 一共 9 年，三年一次，迭代三次。按照上述算法，迭代三次即可：
在这里插入图片描述
在运行代码时，我们发现连续三次都需要在 I 中设置消防站，这明显是不合理的。究其原因，就是因为负数在迭代过程中，对周围的线条的影响，超出了我们主观上的预估。