2021 年 五一数学建模比赛 B 题（第一问至第三问）

Posted 2021-05-24 zhuo木鸟

文章目录

• 思路
• 第一问
• 第二问
• • 一元回归
  • • 一元多次模型
    • sin 函数累加
    • 傅里叶函数
    • 高斯函数
    • 模型评价
  • 时序模型
  • • 标准化
    • 滑动窗口法
    • 机器学习算法搭建预测模型（参数筛选+模型效果）
    • 随机森林预测次数
• 第三问
• • 思路①——单元时序预测
  • • 数据预处理
    • 模型搭建（参数筛选+模型效果）
    • • 参数筛选
      • 模型效果
  • 思路②——多元时序预测
  • • LSTMs 模型
    • LSTMs 效果图
• 尾声
• 代码与提问

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思路

第一题：

对于第一题，其实只要找出每年2月、5月、8月、11月中第一天的三个时间段，发生的事故次数。然后根据事故次数，按比例分配这 30 个人员即可。

对于 第二题，有两个思路：

若将次数-月份中的月份转换为自然数，则可以直接将问题视为一个一元回归问题。对此，本文采用了一元一次回归、一元三次回归、sin 函数求和回归、傅里叶函数回归、高斯求和回归，等多个模型，并考虑这些模型的效果。
:
:第二个思路是：将数据视为时间序列，用滑动窗口法，将数据处理转换为可供监督学习的数据，于是将问题转换为机器学习问题。本文对此，将采用线性回归、SVR、决策树、k近邻算法、随机森林、AdaBoost 实现。

两个思路如下图所示：

第三题也有两个思路：

首先，第三题说到底也是第二题的延续，只要将某一类型的数据提取出来，构成次数-月份数据，就可以用第二题的思路求解了。 不过这样做，就把第三题当成了一个单元时序预测，也即，不考虑各事件类型发生的耦合关系。
:

另一种就是考虑各时间的耦合关系，将其转换为多元时序预测问题，然后，一锅端！
:
:另外，第三题与第二题的区别在于，第三题口中的月份，是没有加上年份作为前缀的（个人理解+1）。再者，它不需要测试集来评价模型，只需要模型对整个数据集进行拟合，拟合效果最好即可。换句话说，就是越过拟合越好（个人理解+2）。

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第一问

根据附件数据，建立数学模型确定消防队在每年2月、5月、8月、11月中第一天的三个时间段各应安排多少人值班，这个问题，似乎就是考察你对数据的增删改查的能力，特别是查的能力。

如何安排呢？毕竟是第一问，肯定不能复杂。所以，我觉得只要找出 16~20 年2月、5月、8月、11月中第一天的三个时间段中，发生事故的次数，然后根据发生事故的次数安排人数就行了。可以按照比例来安排。

所以，问题的重点就在于如何找出16~20 年2月、5月、8月、11月中**第一天**的三个时间段中，发生事故的次数。

这个就要考验大家的编程能力了，我得出的结论是：

年份：16, 月份：2的第一天发生的事故次数：
属于第1阶段发生的事故次数为0
属于第2阶段发生的事故次数为8
属于第3阶段发生的事故次数为7
年份：16, 月份：5的第一天发生的事故次数：
属于第1阶段发生的事故次数为0
属于第2阶段发生的事故次数为0
属于第3阶段发生的事故次数为0
年份：16, 月份：8的第一天发生的事故次数：
属于第1阶段发生的事故次数为0
属于第2阶段发生的事故次数为0
属于第3阶段发生的事故次数为0
年份：16, 月份：11的第一天发生的事故次数：
属于第1阶段发生的事故次数为0
属于第2阶段发生的事故次数为0
属于第3阶段发生的事故次数为0
年份：17, 月份：2的第一天发生的事故次数：
属于第1阶段发生的事故次数为0
属于第2阶段发生的事故次数为0
属于第3阶段发生的事故次数为0
年份：17, 月份：5的第一天发生的事故次数：
属于第1阶段发生的事故次数为0
属于第2阶段发生的事故次数为0
属于第3阶段发生的事故次数为0
年份：17, 月份：8的第一天发生的事故次数：
属于第1阶段发生的事故次数为0
属于第2阶段发生的事故次数为0
属于第3阶段发生的事故次数为0
年份：17, 月份：11的第一天发生的事故次数：
属于第1阶段发生的事故次数为0
属于第2阶段发生的事故次数为0
属于第3阶段发生的事故次数为0
年份：18, 月份：2的第一天发生的事故次数：
属于第1阶段发生的事故次数为0
属于第2阶段发生的事故次数为0
属于第3阶段发生的事故次数为0
年份：18, 月份：5的第一天发生的事故次数：
属于第1阶段发生的事故次数为0
属于第2阶段发生的事故次数为0
属于第3阶段发生的事故次数为0
年份：18, 月份：8的第一天发生的事故次数：
属于第1阶段发生的事故次数为0
属于第2阶段发生的事故次数为0
属于第3阶段发生的事故次数为0
年份：18, 月份：11的第一天发生的事故次数：
属于第1阶段发生的事故次数为0
属于第2阶段发生的事故次数为0
属于第3阶段发生的事故次数为0
年份：19, 月份：2的第一天发生的事故次数：
属于第1阶段发生的事故次数为0
属于第2阶段发生的事故次数为0
属于第3阶段发生的事故次数为0
年份：19, 月份：5的第一天发生的事故次数：
属于第1阶段发生的事故次数为0
属于第2阶段发生的事故次数为0
属于第3阶段发生的事故次数为0
年份：19, 月份：8的第一天发生的事故次数：
属于第1阶段发生的事故次数为0
属于第2阶段发生的事故次数为0
属于第3阶段发生的事故次数为0
年份：19, 月份：11的第一天发生的事故次数：
属于第1阶段发生的事故次数为0
属于第2阶段发生的事故次数为0
属于第3阶段发生的事故次数为0
年份：20, 月份：2的第一天发生的事故次数：
属于第1阶段发生的事故次数为0
属于第2阶段发生的事故次数为0
属于第3阶段发生的事故次数为0
年份：20, 月份：5的第一天发生的事故次数：
属于第1阶段发生的事故次数为0
属于第2阶段发生的事故次数为0
属于第3阶段发生的事故次数为0
年份：20, 月份：8的第一天发生的事故次数：
属于第1阶段发生的事故次数为0
属于第2阶段发生的事故次数为0
属于第3阶段发生的事故次数为0
年份：20, 月份：11的第一天发生的事故次数：
属于第1阶段发生的事故次数为0
属于第2阶段发生的事故次数为0
属于第3阶段发生的事故次数为0

其实大家只要找出所有年份，2,5,8,11月份第一天发生事故的总次数，然后按照次数比拟分配人员就可以了。

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第二问

这个问题可以处理成一个回归问题，或者是一个时序预测问题。

说回归问题的，可以将月份视为 x，如 16 年的 1 月份为是 $x=1$，17 年的 12 月份是 $x=24$。将本月份发生的事故数视为 y，建立一个一元回归模型即可。

所以，第二问的难点还是编程问题，即如何找出某月份下，发生事故的总次数（类似于 SQL 的 groupby）。

我们可以每月份发生的事故次数数据：

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一元回归

如果我们把日期看成自然数序列，似乎就得到了一组（x,y）， x ∈ { 1 , 2 , ⋯   , 60 } x\\in\\{1,2,\\cdots,60\\} x∈{1,2,⋯,60}。如何进行一元回归呢？有一个较好的工具是用 MatLab 的 Curve fitting tools。

我们将 2016-2019 年的数据作为训练数据，下面的模型都是在训练集下训练的：

一元多次模型

首先可以用线性回归（首先删除离群值，即发生次数超过 250 的那些数据）：

其中 $RMSE=33.23$,(MATLAB 的）$RMSE$ 的计算公式如下¹：
$$RMSE=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$

也可以用三元线性回归：

RMSE 为 31.2。

sin 函数累加

也可以用多个 sin 函数累加，来拟合数据，sin 函数累加的模型的表达式如下：
$$y=\sum _{i=1}^8{a}_i\cdot \sin (b_i\cdot x+c_i)$$
拟合效果如下所示（训练集），RMSE = 21.44

傅里叶函数

我们知道所有的函数都可以转换为一系列正弦、余弦之和，即进行傅里叶分解。所以，我们也考虑用傅里叶函数来拟合数据，表达式如下：
$$y=a_0+\sum _{i=1}^8{a}_i\cdot \cos (w\cdot x)+b_i\cdot \sin (w\cdot x)$$
拟合效果如下（训练集），RMSE=19.93：

高斯函数

高斯函数是用指数函数去拟合数据，有时也可以取得比较好的效果，高斯函数的表达式如下：
$$y=\sum _{i=1}^8{a}_i\cdot \exp (-(\frac{x-b_i}{c_i}{)}^2)$$
拟合效果如下（训练集），RMSE=13.47：

模型评价

上述的模型有一个小问题，就是输出是一个浮点数，因此我们可以在算法实现中，将其输出用四舍五入（np.round）的方法，将输出的浮点数转换为整数。

为了评价模型的效果，我们用 2020 年的数据作为评价数据，用 MSE 作为评价指标，计算公式如下²：
$$MSE=\sum _{i=48}^{59}\frac{(x_i-\bar{x}{)}^2}{n}$$
可得算出，各模型的 MSE 如下（也太高了吧！）：

线性回归	一元多次	sin 函数累加	傅里叶	高斯函数
776	15458	1588	1467	870

画出实际数据和拟合数据如下所示：





从上述图片可以看到，模型拟合数据和实际数据还是有很大差别的。比较好的模型也就傅里叶和 sin 函数累加了。不过效果这么差，我们就不用在预测了。

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时序模型

回归模型和时序模型的一个区别就在于，回归模型仅依据当前状态，对输出进行预测，而没有考虑历史数据。

因此，这里考虑使用时序模型进行解决。但时序模型的实现谈何容易，因此这里用回归模型，去模仿时序模型。如何模仿呢？就要在数据预处理上下功夫。比如，我们用历史数据，作为输入特征，然后将问题转换为机器学习问题。

不过，机器学习对数据量纲比较敏感，所以首先对数据进行均值-方差标准化，即将数据的均值转换为0， 方差为 1。

标准化

标准化后数据如下所示：

滑动窗口法

为了将历史数据转换为输入特征，我们需要用滑动窗口，设置延迟步长为 5，可得如下：

由于头 5 条数据没有足够的延迟，所以，将其直接删除。

机器学习算法搭建预测模型（参数筛选+模型效果）

下面，我们将使用下述算法：

算法	线性回归	k近邻算法	支持向量机	决策树	随机森林	AdaBoost
符号	lr	kNN	SVR	dtr	rf	ada

首先，还是老样子，根据“没有免费午餐”定则，需要筛选模型参数，如何筛选？网格寻优+交叉验证：

定义参数网格如下：

算法	参数网格
lr	无
kNN	{‘n_neighbors’:[3,5,7,9,11,13]}
SVR	grid = { ‘C’:[0.01, 0.02, 0.05, 0.07, 0.1], ‘kernel’:[‘linear’,‘rbf’,‘poly’], ‘epsilon’: [0, 0.001, 0.05, 0.01, 0.05, 0.1] }
dtr	grid = {‘max_depth’:[3, 5, 7, 9], ‘ccp_alpha’:[0,0.01,0.05,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]}
rf	基模型个数：5, 10, 15, 20, 25
ada	基模型个数：5, 10, 15, 20, 25, 基模型：线性回归

定义模型的评价指标为 MSE，最终筛选出模型的最佳参数，以及各大模型的预测效果如下：

我们也可以画出上述模型在其最优参数下，拟合出来的数据和实际数据的对比图，如下所示：






可以看到，随机森林是其中最好的模型。为什么？论精度，它虽然比不上 kNN，但 kNN 的参数是：最大近邻个数为 1，换句话说，它实际上是取原有数据的值取预测未来的值，所以不管用。

另外，我们大致可以预测到的是，随着时代的推移，这些意外事故肯定会降低，所以，考虑到随机森林，一方面其大致的走势与原始数据类似，并且与未来趋势较为匹配，所以选择随机森林作为预测模型吧。

此外：MSE=300+高不高呢？要说高，其实也蛮高的，300 多意味着每一个数据的方差是 300，开一个根号，就是：18 左右。也就是实际报警次数平均下来，比预测的多 18，或者少 18。

随机森林预测次数

用随机森林模型预测出 2021 年的报警次数，如下所示：

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第三问

第三问是要分析，各类事故的次数，和月份的关系了。按我的理解，这里的月份和第二问不同，应该是忽视年份的。所以，对于数据方面，我想应该将统计每一个年份，在16-20年份的发生总次数，作为研究数据。当然，大家也可以采用这 5 年内，每月份发生的，属于特定事件类别的均值，或者用其他统计方法。

所有，第三问和第二问的差别之处：

1. 在于首先是范围变小了，第三问是分析指定类别的事故；
2. 其次是数据维度缩小了，第三问分析 1-12月，共 12 条数据，而第二问分析 16-20年分别的 1- 12 月份，共 60 条数据。

处理方法的话，可以按照第二问来，即对于每一个类型，我们都把他单独提取出来（单元时序数据）

或者，对于每一个类型，我们统一分析，即多元时序数据。

思路①——单元时序预测

如同思路所示，只需要将某一类型的时间提取出来，构成次数-月份序列，即可完成。因为过程大同小异，我们就以问题类别①为例子，其他的就照猫画虎呗。

数据预处理

首先是均值、方差标准化（这就不展示了），其次是滑动窗口，由于数据较少（才12个），所以就将延迟时间设置为 2：

模型搭建（参数筛选+模型效果）

参数筛选

我们将使用以下的算法：

算法	线性回归	k近邻算法	支持向量机	决策树	随机森林	AdaBoost
符号	lr	kNN	SVR	dtr	rf	ada

定义参数网格如下：

算法	参数网格
lr	无
kNN	{‘n_neighbors’:[3,5,7,9,11,13]}
SVR	grid = { ‘C’:[0.01, 0.02, 0.05, 0.07, 0.1], ‘kernel’:[‘linear’,‘rbf’,‘poly’], ‘epsilon’: [0, 0.001, 0.05, 0.01, 0.05, 0.1] }
dtr	grid = {‘max_depth’:[3, 5, 7, 9], ‘ccp_alpha’:[0,0.01,0.05,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]}
rf	基模型个数：5, 10, 15, 20, 25
ada	基模型个数：5, 10, 15, 20, 25, 基模型：线性回归

根据交叉验证，得出结论如下：

模型效果

（根据问题理解，这道题不需要拆分成训练集、测试集）直接将数据投入模型训练，可得各个模型的效果如下：

可知，选 knn 算法最好啦，为了直观地展示，我们也可以画出实际数据、拟合数据图：

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思路②——多元时序预测

首先总结出各类数据月发生次数（总次数），如下表所示：

标准化如下：

进行窗口滑动后，数据如下（时间延迟为 1）：

即根据前一天，预测后一天（数据量太少了呀。）

LSTMs 模型

我们使用 LSTMs 时序神经网络模型，来拟合数据（设置循环次数，即图中的 A 为 64 个，训练算法为 Adam），LSTMs 迭代的情况如下：

拟合数据和实际数据的 MSE 为（标准化前的）：0.25

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LSTMs 效果图

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