算法789. 数的范围——二分

Posted 2021-05-29 karshey

算法思想

整数二分
有单调性可以二分，但二分不一定非要有单调性。

本质是边界。如一段整数，一部分满足某个性质，另一部分不满足。我们可以去找到这个“满足/不满足”的边界。
满足和不满足是两种模板。设满足为性质1，不满足为性质2.总范围为[l,r];

如图，左为不满足，右为满足：

若想二分出不满足的边界点（性质2）：

1. 找出mid=(l+r+1)/2;
2. 如果mid对应的整数满足性质2，则区间变为：[mid,r];若不满足，则区间变为：[l,mid-1];
3. 满足的更新方式：l=mid;不满足：r=mid-1;

若想二分出满足的边界点（性质1）

1. mid=(l+r)/2;
2. 如果满足，范围改为[l,mid]，更新方式为令r=mid;若不满足，范围为[mid+1,r]，及l=mid+1;

关于mid什么时候有+1
更新时出现mid-1的，mid要等于(l+r+1)/2。
mid不+1可能死循环。

关于做题的时候如何思考（y总原话）
先随便取一个mid（不考虑是否加1），随便想一个check函数判断一下（满足或不满足）。在判断check时若出现l=mid（或出现mid-1），那就在mid补上+1；

代码

二分的两种模板：

//二分

//区间[l,r]被划分为[l,mid]和[mid+1,r]时使用
int bsearch_1(int l,int r)
{
	while(l<r)
	{
		int mid=(l+r)/2;
		if(check(mid)) r=mid;
		else l=mid+1;
	}
	return l;
 } 
 
//区间[l,r]被划分为[l,mid-1]和[mid,r]
int bsearch_2(int l,int r)
{
	while(l<r)
	{
		int mid=(l+r+1)/2;
		if(check(mid)) l=mid;
		else r=mid-1;
	}
	return l;
 } 

题：
题1

#include<iostream>
using namespace std;

const int N=100010;
int q[N];

int main()
{
	int n,m,l,r,mid;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&q[i]);
	
	while(m--)
	{
		int x;
		cin>>x;
		
		l=0;
		r=n-1;		
		while(l<r)
		{
			mid=l+r>>1;
			if(q[mid]>=x) r=mid;
			else l=mid+1;
		}
		if(q[l]!=x) cout<<"-1 -1"<<endl;
		else
		{
			cout<<l<<" ";
			l=0;
			r=n-1;
						
			while(l<r)
			{
				mid=l+r+1>>1;
				if(q[mid]<=x) l=mid;
				else r=mid-1;
			}
			cout<<l<<endl;
		}
	}
}

浮点数的二分，直接l=mid或r=mid即可。不用+1-1.
注意，while的判断条件是r-l>=1e-7 ! （即刚好出现r约等于l的情况）
题2

//https://www.acwing.com/problem/content/792/

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
const int N2=1e5+5;
const int N1=-1*N2;

int main()
{
	double n;
	cin>>n;
	
	double l=N1,r=N2,mid,ans;
	while(r-l>=1e-7)
	{
		mid=(l+r)/2;
		ans=pow(mid,3);
		if(ans>=n) r=mid;
		else l=mid;
	}
	
	cout.precision(6);
	cout<<fixed<<l;
	return 0;
}