二分算法（以 数的范围 为例）

Posted 2020-12-14 zhenglijie

原题：

给定一个按照升序排列的长度为n的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素k的起始位置和终止位置（位置从0开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回“-1 -1”。

输入格式

第一行包含整数n和q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含n个整数（均在1~10000范围内），表示完整数组。

接下来q行，每行包含一个整数k，表示一个询问元素。

输出格式

共q行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回“-1 -1”。

数据范围

1≤n≤1000001≤n≤100000
1≤q≤100001≤q≤10000
1≤k≤100001≤k≤10000

输入样例：

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

3 4
5 5
-1 -1

整数二分

首先寻找下界，先定义一个 mid = (l+r) >> 1 ，即如果找到了符合条件的 q[mid] ，则可知符合条件的下界坐标在 [x, q[mid]] 的范围内，注意是闭区间，所以这时候更新上界 r = mid ，否则 l = mid+1 。

寻找上界，同样是先定义一个 mid = (l+r) >> 1，如果找到了符合条件的 q[mid] ，则可知符合条件的上界坐标在 [q[mid], x] ,所以这时候要更新下界 l = mid ,否则 r = mid-1 ，最重要的一定就是，当发现更新的是 l = mid 的时候，一定要注意 mid = (l+r+1) >> 1 需要这样更改，否则会造成边界问题，进入死循环。

所以二分有两个重要的模板：

 1 bool check(int x) { }; //检查x是否具有某种性质
 2 void bsearch_1(int l, int r)
 3 {
 4     while(l < r)
 5     {
 6         int mid = (l+r) >> 1;
 7         if(check(mid)) r = mid;
 8         else l = mid+1;
 9     }
10     return l;
11 }
12 
13 void bsearch_2(int l, int r)
14 {
15     while(l < r)
16     {
17         int mid = (l+r+1) >> 1;
18         if(check(mid)) l = mid;
19         else r = mid-1;
20     }
21     return l;
22 }

需要注意区别使用。

本题的AC代码

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 using namespace std;
 4 
 5 const int N = 100010;
 6 int q[N];
 7 
 8 int main()
 9 {
10     int n, m;
11     cin >> n >> m;
12     for(int i = 0; i < n; i++) cin >> q[i];
13 
14     while(m--)
15     {
16         int x;
17         scanf("%d", &x);
18 
19         int l = 0, r = n-1;
20         while(l < r)
21         {
22             int mid = (l+r) >> 1;
23             if(q[mid] >= x) r = mid;
24             else l = mid+1;
25         }
26         if(q[l] != x) cout << "-1 -1" << endl;
27         else
28         {
29             cout << l << " ";
30 
31             int l = 0, r = n-1;
32             while(l < r)
33             {
34                 int mid = (l+r+1) >> 1;
35                 if(q[mid] <= x) l = mid;
36                 else r = mid-1;
37             }
38 
39             cout << l << " ";
40         }
41     }
42     return 0;
43 }

 

浮点数的二分（以寻找一个数的平方根为例）

因为浮点数可以严格的除以2，所以不用考虑边界问题了，让所区间非常小时我们认为边界即答案，还有就是边界的数量级最好比所得结果所保留小数的位数多两位，例如保留六位小数，最好 r-l > 1e-8 。

代码：

 1 #include<iostream>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 int main()
 6 {
 7     double n;
 8 
 9     cin >> n;
10     double l = 0, r = n;
11     while(r-l > 1e-8)
12     {
13         double mid = (l+r)/2;
14         if(mid*mid >= n) r = mid;
15         else l = mid;
16     }
17     printf("%llf", l);
18     system("pause");
19     return 0;
20 }