学习笔记之——李群与李代数的理解

Posted 2021-05-20 gwpscut

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了学习笔记之——李群与李代数的理解相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

最近系统的再学习了一下SLAM，主要的参考资料是《SLAM十四讲》，那么本博文对李群与李代数做一些学习的记录。本博文仅仅是本人的学习笔记，部分资料来源于网络。不作任何商业用途

首先给出高翔对于李群李代数的讲解视频

【高翔】视觉SLAM十四讲

什么是李群与李代数？为啥需要它们？

李群李代数是为了解决SLAM中非常实际的问题的，如位姿估计等问题。对于SLAM问题，实际上就是不断的估计相机的位姿和建立地图。其中，相机位姿也就是变换矩阵T。

假设某个时刻相机的位姿是T，它观察到一个在世界坐标系中的一个空间点p，并在相机上产生了一个观测数据z，那么有：

z = T*p + noise

noise是观测噪声。那么观测误差就是

e = z - T*p

假设我们总共有N个这样的三维点p和观测值z，那么我们的目标就是寻找一个最佳的位姿T，使得整体误差最小化，也就是

求解此问题，就是求目标函数J对于变换矩阵T的导数。而对于变换矩阵T，其所在的SE(3)空间，对加法计算并不封闭，也就是说任意两个变换矩阵相加后并不是一个变换矩阵，这主要是因为旋转矩阵对加法是不封闭造成的，它是有约束的。什么意思呢？我们知道旋转矩阵R本身有一定的约束：

两个旋转矩阵R1+R2的结果就不能满足上述约束了，但是R1*R2满足。故此，旋转矩阵对加法不满足封闭性：

而李代数就是解决这个问题的。把大写SE(3)空间的T映射为一种叫做李代数的东西，映射后的李代数叫做se(3)。它是由向量组成的，而向量是对加法封闭的。这样我们就可以通过对李代数求导来间接的对变换矩阵求导了。

在进一步介绍李代数前，先说说什么是群。群（group）是一种集合加上一种运算的代数结构（or对于这种只有一个运算的集合，我们把它叫做群。）比如旋转矩阵和乘法就构成了旋转矩阵群，变换矩阵和乘法也构成了变换矩阵群。但旋转矩阵和加法不能构成群，因为他们不满足封闭性。

群的性质如下：（对于旋转矩阵其乘法满足封闭性，还满足结合律：R1*R2=R2*R1，还有幺元是单位矩阵I，也有逆矩阵满足R乘以R的逆等于幺元（单位阵）。）

而李群是指具有连续（光滑）性质的群。其定义是指连续光滑的群，比如旋转矩阵群SO(3)，拿个杯子就可以在空间中以某个支点连续的旋转它，所以SO(3)它就是李群。如果一边旋转一边移动它，也是连续的或者说光滑的运动，所以变换矩阵群SE(3)也是李群。

但是SO(3)与SE(3)只有定义良好的乘法，没用加法，故此很难进行取极限、求导等操作。

而李代数对应李群的正切空间，它描述了李群局部的导数

重要结论1：旋转矩阵的微分是一个反对称矩阵左乘它本身

旋转矩阵的微分是一个反对称(也叫斜对称，skew symmetric matrix) 矩阵左乘它本身，对于某个时刻的R(t)（李群空间），存在一个三维向量φ=（φ1，φ2，φ3）（李代数空间），用来描述R在t时刻的局部的导数。

关于反对称矩阵的定义：反对称矩阵其实是将三维向量和三维矩阵建立对应关系。它是这样定义的：如果一个3 X 3的矩阵A满足如下式子，那么A就是反对称矩阵。

根据它的性质，上式等式左边矩阵A转置后，对角线元素aii还在对角线上，而对于等式右边，所有元素取负号，那么对于对角线元素aii来说，足aii=-aii，所以aii=0。也就是说反对称矩阵对角线元素都为0。那么非对角线元素还有6个，它们能不能精简呢？等式左边第2行第1列位置的元素，是矩阵A元素a12转置后到了位置a21，等式右边原来a21变成了 -a21，所以其实对于矩阵A，元素a12 = -a21，所以用一个元素及其负数就可以表示矩阵中这两个元素，同理，其他4个元素也是这样。所以，其实矩阵A中非对角线元素只用3个元素就可以表示。也就是说反对称矩阵A只有3个自由度。这样我们就可以把一个三维向量和一个三维矩阵建立对应关系。举个例子，假设有一个反对称矩阵A的定义如下：

我们定义对应的一个三维向量：

然后我们用一个上三角符号来表示这个向量α和三维矩阵A的对应关系

通过这个符号，我们把向量和矩阵建立了对应关系。也即有：

重要结论2：指数映射（可以理解为通过此公式求解李群对应的李代数）

如下式所示。李代数so(3)是三维向量φ的集合，每个向量φi的反对称矩阵都可以表达李群(SO(3))上旋转矩阵R的导数，而R和φ是一个指数映射关系。也就是说，李群空间的任意一个旋转矩阵R都可以用李代数空间的一个向量的反对称矩阵指数来近似。

简单来说就是，用旋转矩阵表示的话就是李群空间，也是我们熟悉的表示方法。而用向量的反对称矩阵表示的话就是李代数空间，这两个空间建立了联系。

R在原点附近的一阶泰勒展开，我们看到这个向量φ=（φ1，φ2，φ3）反应了R的导数性质，故称它在SO(3)上的原点 φ0 附近的正切空间上。这个φ正是李群SO(3)对应的李代数so(3)。指数e的泰勒展开如下：

通过运用泰勒展开，以及反对称矩阵的性质，我们可以得到如下结果：

其中，三维向量 φ = θa，a是一个长度为1的方向向量。这公式就是罗德里格斯公式（德里格斯公式是表示从旋转向量到旋转矩阵的转换过程）so(3)的李代数空间就是由旋转向量组成的的空间，其物体意义就是旋转向量。而结论2中的指数映射关系就是罗德里格斯公式，他们在数学上本质是一样。这样我们可以说旋转矩阵的导数可以由其对应的旋转向量指定，指导如何在旋转矩阵中进行微积分运算。

对于李群而言，SE（3）或者SO（3）都是有约束的，其优化是有约束的优化。而李代数（向量）则是无约束的，所以李群与李代数的转换就是把位姿优化问题从约束转到无约束下，进而使得优化问题更加的简单~~~

而李代数也有自己的定义如下：