视觉SLAM第四讲李群与李代数习题

Posted 2023-03-24 programmerwang

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了视觉SLAM第四讲李群与李代数习题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

视觉SLAM第四讲李群与李代数习题

一、验证\$SO(3)、SE(3)、SIM(3)\$关于乘法成群

首先引入一下群的定义。

群 (Group) 是一种集合加上一种运算的代数结构。我们把集合记作 \$A\$, 运算记作 \$.\$,那么一个群可以记作 \$G=(A, \\cdot)\$ 。群要求这个运算满足以下几个条件:

封闭性: \$\\forall a_1, a_2 \\in A, \\quad a_1 \\cdot a_2 \\in A\$.

结合律: \$\\forall a_1, a_2, a_3 \\in A, \\quad\\left(a_1 \\cdot a_2\\right) \\cdot a_3=a_1 \\cdot\\left(a_2 \\cdot a_3\\right)\$.

么元: \$\\exists a_0 \\in A\$, s.t. \$\\forall a \\in A, \\quad a_0 \\cdot a=a \\cdot a_0=a\$.

逆: \$\\forall a \\in A，\\quad \\exists a^-1 \\in A, \\quad\$ s.t. \$a \\cdot a^-1=a_0\$.

首先验证 \$SO(3)\$关于乘法成群

\\[SO(3) = \\\\mathbfR\\in \\mathbbR ^3\\times3 | \\mathbfR\\mathbfR^\\top = \\mathbfI, \\det(\\mathbfR)=1 \\ \\]

封闭性：

设任意\$R_1，R_2 \\in SO(3)\$，则有：

\\[R_1R_2(R_1R_2)^T = R_1R_2R_2^TR_1^T = I \\]

此时，\$R_1,R_2\$的乘法结果属于正交矩阵得证；

\\[det(R_1R_2) = det(R_1) \\times det(R_2) = 1 \\]

此时，\$R_1,R_2\$的乘法结果行列式值为1得证；

综上，对于任意\$R_1，R_2 \\in SO(3)\$，有\$R_1R_2 \\in SO(3)\$。

结合律：

由于矩阵乘法是满足结合律的，所以有：

\\[(R_1R_2)R_3 = R_1(R_2R_3) \\]

么元：

对于单位矩阵\$I \\in SO(3)\$，容易证明其是么元。

任意\$R \\in SO(3)\$

\\[IR = RI = R \\]

逆：

根据\$SO(3)\$的定义，容易验证，对于任意的\$R \\in SO(3),\\exist (R^T = R^-1)\\in SO(3)\$，使得\$RR_-1 = I\$。

验证 \$SE(3)\$关于乘法成群
\\[SE(3) = \\\\mathbfT = \\beginbmatrix \\mathbfR & \\mathbft\\\\ \\mathbf0 & 1 \\endbmatrix \\in \\mathbbR^4\\times 4 | \\mathbfR \\in SO(3), \\mathbft\\in \\mathbbR^3 \\ \\]

封闭性：

设任意\$\\mathbfT_1 = \\beginbmatrix \\mathbfR_1 & \\mathbft_1\\\\ \\mathbf0 & 1 \\endbmatrix,\\mathbfT_2 = \\beginbmatrix \\mathbfR_2 & \\mathbft_2\\\\ \\mathbf0 & 1 \\endbmatrix\$，则有：

\\[\\mathbfT_1T_2 = \\beginbmatrix \\mathbfR_1R_2 & \\mathbfR_1t_2+t_1\\\\ \\mathbf0 & 1 \\endbmatrix \\]

由上一题的证明，有\$R1R_2 \\in SO(3)\$,根据矩阵维数得到$R_1t_2+t_1 \\in\\mathbbR^3 $

所以，\$T_1T_2 \\in SE(3)\$

结合律：

由于矩阵乘法是满足结合律的，所以有：

\\[(T_1T_2)T_3 = T_1(T_2T_3) \\]

么元：

对于单位矩阵\$I \\in SE(3)\$，容易证明其是么元。

任意\$T \\in SE(3)\$

\\[IT = TI = T \\]

逆：

根据\$SE(3)\$的定义，对于任意\$\\mathbfT = \\beginbmatrix \\mathbfR & \\mathbft\\\\ \\mathbf0 & 1 \\endbmatrix \\in SE(3)\$，我们设\$T\' = \\beginbmatrix \\mathbfR^-1 & \\mathbf-R^-1t\\\\ \\mathbf0 & 1 \\endbmatrix \\in SE(3)\$，

容易验证$TT\' = I $

验证\$SIM(3)\$关于乘法成群

\$SIM(3)\$，就是在\$T\$的基础上添加了一个尺度变化因子\$s\$。

\\[SIM(3) =\\\\mathbfS = \\beginbmatrix \\mathbfsR & \\mathbft\\\\ \\mathbf0 & 1 \\endbmatrix \\in \\mathbbR^4\\times 4 | \\mathbfR \\in SO(3), \\mathbft\\in \\mathbbR^3,s \\in \\mathbbR \\ \\]

其证明\$SE(3)\$类似，不再赘述。

二、验证\$(\\mathbbR^3,R,\\times)\$构成李代数

首先引入一下李代数的定义。

李代数由一个集合\$V\$，一个数域\$F\$，一个二元运算\$[,]\$组成，如果满足下面的条件，则称 \$(\\mathbbV, \\mathbbF,[,])\$ 为一个李代数。

李代数满足如下性质：

封闭性

\$\\forall X, Y \\in \\mathbbV, 有[X,Y] \\in \\mathbbV\$ ，

双线性

\$\\forall X, Y,Z \\in \\mathbbV, a，b \\in \\mathbbF\$ ，有：

\\[[a \\boldsymbolX+b \\boldsymbolY, \\boldsymbolZ]=a[\\boldsymbolX, \\boldsymbolZ]+b[\\boldsymbolY, \\boldsymbolZ], \\quad[\\boldsymbolZ, a \\boldsymbolX+b \\boldsymbolY]=a[\\boldsymbolZ, \\boldsymbolX]+b[\\boldsymbolZ, \\boldsymbolY] \\]

自反性

\$\\forall \\boldsymbolX \\in \\mathbbV,[\\boldsymbolX, \\boldsymbolX]=\\mathbf0\$,

雅可比等价

\$\\forall X, Y, Z \\in \\mathbbV,[X,[Y, Z]]+[Z,[\\boldsymbolX, \\boldsymbolY]]+[\\boldsymbolY,[\\boldsymbolZ, \\boldsymbolX]]=0\$.