贪心算法 | 最优装载问题——加勒比海盗船

Posted 2021-05-19 a烟雨倾城吧

贪心算法的本质：

 

它是解决问题的策略上“目光短浅”，只根据当前已有信息就做出选择，而且一旦做出选择，不管将来有什么结果，这个结果都不会发生改变。换言之，贪心算法并不是从整体最优考虑，而是在某种意义上的局部最优。注意有时得到的结果并不是最优解，而是最优解的近似解。

 

如何使用贪心算法呢？

 

（1）贪心策略

首先要确定贪心策略，选择当前看上去最好的一个方案。例如，挑选苹果，如果你认为个大的是最好的，那你每次都从苹果堆中拿一个最大的，作为局部最优解。贪心策略就是选择当前最大的苹果；再例如另外一种贪心策略是选择当前最红的苹果。因此根据求解目标不同，贪心策略也会不同。

 

（2）局部最优解

根据贪心策略，一步一步得到局部最优解。例如，第一次选一个最大的苹果放起来，记为a1，第二次再从剩下的苹果中选择一个最大的苹果放起来，记为a2，以此类推下去。

 

（3）全局最优解

把所有的局部最优解合成为原来问题的一个最优解(a1,a2,.....an)

 

贪心算法的应用

 

最常见的冒泡排序就是使用了贪心算法，它的贪心策略就是每一次从剩下的序列中选出一个最大的数，把这些选出来的数按大小排序。

1、最优装载问题——加勒比海盗船

问题：有一天，海盗们截获了一艘装满各种各样的古董的货船，每一件古董都价值连城，一旦打碎就失去了它的价值。虽然海盗船足够大，但载重量为C，每件古董重量为Wi，海盗们该如何把尽可能多数量的宝贝装上海盗船呢？

1.1问题分析

根据问题描述可知这是一个用贪心算法求解得最优装载问题，要求装载的物品的数量尽可能多，但是船的装载能力是有限的。这时可以采用重量最轻的优先装的贪心选择策略。

 

1.2算法设计

（1）当载重量为定值c时，Wi越小时，那可装载的数量n就越多。这时就依次选择最小重量的装入，直到不能再装为止。

（2）把n个古董从小到大排序，然后根据贪心策略尽可能多选出前i个古董，直到不能装入为止，此时到达最优。

 

1.3图解算法

现在海盗船的载重量c为30，而古董重量清单如下表所示：

 

重量W[i]

4

10

7

11

3

5

14

2

 

（1）对古董重量按递减排序，如下表所示：

 

重量W[i]

2

3

4

5

7

10

11

14

 

（2）按照贪心策略，每次选择重量最小的古董放入（tmp代表古董的重量，ans代表已装个数）

 

i=0，选择排序后的第1个，装入重量tmp=2，不超过载重量30，ans=1。

i=1，选择排序后的第2个，装入重量tmp=2+3=5，不超过载重量30，ans=2。

i=2，选择排序后的第3个，装入重量tmp=5+4=9，不超过载重量30，ans=3。

i=3，选择排序后的第4个，装入重量tmp=9+5=14，不超过载重量30，ans=4。

i=4，选择排序后的第5个，装入重量tmp=14+7=21，不超过载重量30，ans=5。

i=5，选择排序后的第6个，装入重量tmp=21+10=31，超过载重量30，算法结束。

 

即放入古董数为5个。

 

1.4伪代码详解

（1）数据结构定义

根据算法设计描述，我们用一维数组存储古董数量：

double w[N];//一维数组存储古董的重量

 

（2）按重量排序

 

可以利用C++标准库中的排序函数sort，对古董的重量进行从小到大（非递减）排序。要使用此函数需要引入头文件<algorithm>

语法描述为：

sort(begin, end) //参数begin和end表示一个范围，分别为待排序数组的首地址和尾地址
 //sort函数默认升序

 

 

在本例中只需要调用sort函数对古董的重量进行从小到大排序：

sort(w, w+n);//按古董重量升序排序

 

（3）按照贪心策略找最优解

 

首先用变量ans记录已经装载的古董个数，tmp代表装载到船上的古董的重量，两个变量都初始化为0，然后按照重量从小到大排序，依次检查每一个古董，tmp加上该古董的重量，如果小于等于载重量c，则令ans++；否则，退出。

 double = tmp = 0.0;    int ans = 0;    for (int i = 0; i < n; i++) {        tmp += w[i];        if (tmp <= c) {            ans ++;        } else {            break;        } }