一起复习几何

Posted 2021-05-18 力为

 

曲线

 

圆

圆是最简单的非线性曲线。以(a,b)为圆心，r为半径的圆的隐式方程为：

(x - a)² + (x - b)² = r²

参数方程为：

x = a + rcos(t)
y = b + rsin(t)

以原点为圆心的圆简化为：

x² + y² = r²

参数方程为：

x = rcos(t)
y = rsin(t)

 

圆锥曲线

椭圆（Ellipses）、双曲线（Hyperbolas）、抛物线（Parabolas）是三种未退化的圆锥曲线，其中椭圆和双曲线也被叫做共焦圆锥曲线，因为两者都有对称的中心点。

 

椭圆

以原点为椭圆的中心点

隐式方程：

x²/a² + y²/b² = 1

其中，a，b为椭圆的轴长。长者为长轴，短者为短轴。

参数方程：

x = acos(t)
y = bsin(t)

 

双曲线

以原点为椭圆的中心点

隐式方程:

x²/a² - y²/b² = 1

其中，(a,0)和(-a,0)是x轴与曲线的焦点，y轴与曲线无焦点。

参数方程:

x = asec(t)
y = btan(t)

抛物线

一般形式：

x² = 4py

其中，若p>0，则抛物线开口向上。

参数形式：

x = t
y = t2 / (4p)

 

圆锥曲线的一般形式

圆锥曲线为二次曲线是因为它有如下的一般形式：

Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0

可见有6个参数，但由5个便可定义一条曲线。

二次多项式的判别式为：

B²-A*C

根据它可以判定二次曲线的形状：

若B² < A*C ，为椭圆，

若B² =A*C ， 为抛物线

若B² > A*C ，为双曲线

 

圆锥曲线的矩阵形式

 

首先将变量和参数写成如下形式：

 

 

 

可以证明有如下矩阵形式：

x^TQx = 0