一起复习几何

Posted 2021-05-18 力为

  二维空间

点
用（x,y)表示。其中(x,y)定义在xy平面上且x,y轴互相垂直。当然我们也可以使用x、y周不垂直的坐标系统， 那复杂度将大大地增加。

直线
在xy平面上，直线方程如下：
Ax + By + C = 0
单位化后可表示为：
x + (B/A）y + C/A = 0
或者表示为斜距式：
y = mx + b
其中,斜率为m = -A/B, 截距为b = -C
问题
1.原点到直线的距离：
d = |C|/((A^2 + B^2)^(1/2))
2. 平行和垂直关系
Ax + By + C = 0
Ex + Fy + G = 0
平行则斜率相同，即 -A/B = -E/F => AF = BE
垂直则斜率之积为-1，即 AE = -BF

三维空间
点
用（x,y,z)表示。三个轴互相正交。

向量
向量有两种：位置向量，方向向量
位置向量表示点的位置信息，也就是说点即位置向量。用大写粗体表示A
空间向量表示方向信息。用小写粗体表示，如a
概念
1.向量的长度
|a|
2.单位向量
a/|a|
3. 点积
a.b = |a|.|b|cos(t)，其中t为a、b之间的夹角。
若a.b = 0, 则 t = 90度, 即a与b正交
若 a.b = |a|.|b|,则 t = 0度，即a、b同向
若a.b = -|a|.|b|,则 t = -180度，即a、b反向
4.叉乘
a × b = < a2b3 - a3b2, -(a1b3 - a3b1), a1b2 - a2b1 > = c
|c| = |a|.|b|sin(t),
其中，c与a,b都正交（方向遵循右手法则），t为a、b的夹角

直线
三维空间中的无法用一个方程来表示直线，但可以看成是两个平面的相交线。有了位置向量和方向向量后，可以这些定义直线L：
X = B + td
X为直线上的任意一点，通常d为单位向量

平面
平面方程为：
Ax + By + Cz + D = 0
当然，平面也可以表示为向量形式：
（X-B).n = 0
其中X是平面上任一点，B为平面上的已知点，n为平面发向量
问题
1. 原点到面的距离
d = |D|/((A^2 + B^2 + C^2)^(1/2))
2. 倾斜度(gradient)
用平面的法向量表示，即<A,B,C>
3.线与平面交点
直线：X = B + td
平面：（X-B).n = 0
带入X，求得：
t = (B-A).n / d.n
注意，如果d.n = 0, 说明要么直线或与平面平行，或在平面上。