一起复习几何

Posted 2021-05-18 力为

 

把一个几何问题转换为可以运行的程序，通常需要这样几步：
几何--> 代数-->算法-->程序

计算机并不理解几何概念，为了让计算机帮助我们求解几何问题，需要如下几步：首先需要把几何问题转换成用数字表达的代数问题，然后根据几何的代数表示设计合适的求解算法，最后根据算法编写程序。这个过程貌似很简单，其实每一步都一项极具困难并富于挑战的任务。

几何-->代数

当思考一个几何物体时，即使是简单的点或线，我们通常在脑海中想一下它们的形状。为了让计算机能够处理几何物体，就需要一个计算机能够处理它的表达(representation)形式。例如,一个三维空间的点(2.5, 0.0, -4.0), 一个xy坐标平面的直线等式 3x-5y+3=0。

一个几何物体的表示形式通常并不唯一。以圆为例，它的隐式方程为 x^2 + y^2 = 1，用三角函数表示的参数化形式为: x = cos(t); y = sin(t); 0<= t < 360;

有些几何体甚至需要复杂的数据结构来表示其所有的细节，如多面体( Polyhedron)。因此寻找一种好而合适的表达形式也是极具挑战。

代数--> 算法
找到了几何体的代数解释的表达形式后，下一步就要寻找算法来处理该表达式和方程。这个过程或难或复杂，完全取决于需要解决的问题。但我们可以有这样几种方法：

• 符号计算（symbolic computation)
  • 符号系统可以得到符号解。例如用符号系统来求解二次方程(quadratic equation) Ax2+Bx+C=0; 可以得到它的根的等式：root1 = (-B+SQRT(B²-4*A*C)/(2*A); root2 = (-B-SQRT(B²-4*A*C)/(2*A)。
  • 符号计算可以给出用一个或多个公示表示的闭合形式解(closed-form solutin) - 一个能直接计算级数和或递归结果的等式。
• 数值计算(Numerical Computation)
  • 如牛顿迭代法
  • 若初始值不合适，有时候会导致找不到解。
• 近似( Approximation)
  • 为了节省时间，可以只求近似解。

有时候可以联合用来求解问题。

算法-->程序
算法有了，程序还难实现吗？

 

几何问题太复杂了

维度复杂性
空间中的几何对象比平面上的几何对象更复杂，这一点毋庸置疑。一方面是由于许多几何属性只有在空间上讲才有意义，比如空间中一条延Z轴扭曲的曲线；另外一方面空间中可以表示更多的几何对象，如曲面。

分析复杂性
确切的说是方程式的复杂性。例如：
一次、二次、三次、四次、五次多项式。两个多项式相除又可以表示为有理多项式(rational Polynomials)
三角函数
另外仅从方程式我们不能直接看出其几何形状。
几何对象之间关系计算：求交点，判断是否平行/垂直等

组合复杂性
一个多项式需要若干个参数表示，如:
  Ax2+Bxy+Cy2+Ex+Ey+F=0
  Ax3+Bx2y+Cxy2 +Dy3+Ex2+Fxy+Gy2+Hx+Iy+J=0
随着多项式次数的增加，需要的参数也越来越多。

浮点数计算
计算机处理float,double值时，由于其内部的有限的精度表示形式（科学计数法）不可避免的会引入误差。
而几何计算又通常需要进行浮点数运算。为了将误差的影响减少至最低，需要尽量在算法或多项式的表示形式上下工夫。