背包问题学习总结（5.8）

Posted 2021-05-18 未定_

01背包问题

01背包，戳这里

完全背包问题

基本题型：背包的体积为m,有n类物品它们个数不限，每类物品有不同的价值v和不同的体积w,计算背包最多能装多少价值的物品。
和01的区别：01的个数限制，每类只有一件，要么取要么不取，完全的个数不限，每类可以取1件或多件或不取。
普通方法：

memset(d,0,sizeof(d))；
for(i=1; i<=n; i++)
{
        for(j=0; j<=m; j++)
        {
              for(k=0;k*w[i]<=j;k++)
              {    if(j-w[i]>=0)
                      d[i][j]=max(d[i-1][j],d[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);
                  else d[i][j]=d[i-1][j];
              }
        }
} 
cout<<d[n][m]<<endl;

同01背包相似，多了一层循环。
优化：01背包时，因为每类物品1件，所以考虑当前位置取与不取，是在前一类的基础上计算的，反映到代码中，就是每一类用一个i，而完全背包，每类多件，我们不仅要考虑前一类的情况，还要考虑当前类取的情况（取与不取，取多少件），实际上是在本类取的件数上一件件增加考虑的，优化如下：

memset(d,0,sizeof(d));    
for(i=1; i<=n; i++)
{
      for(j=w[i]; j<=m; j++)
      {
             d[j]=max(d[j],d[j-w[i]]+v[i]);
      }
}
cout<<d[m]<<endl;

与01的区别是内循环从小到大循环，这样就做到了本类从取少件到多件的考虑。
详细解释在01里讨论过了01背包，戳这里

多重背包问题

基本题型：有n种物品和一个容量为m的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大
和完全背包的区别：每类不是无限件，而是限制了件数，一般大于一件。
普通方法：

memset(d,0,sizeof(d))；
for(i=1; i<=n; i++)
{
        for(j=0; j<=m; j++)
        {
              for(k=0;k<=n[i]&&k*w[i]<=j;k++)
              {    if(j-w[i]>=0)
                      d[i][j]=max(d[i-1][j],d[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);
                  else d[i][j]=d[i-1][j];
              }
        }
} 
cout<<d[n][m]<<endl;

优化：考虑用一维数组，转化成01背包问题，考虑到二进制思想，一个数一定可以由2的不同幂之和表示。比如：3=1+2；5=1+4；6=2+4；7=1+2+4……，我们按照这种思想把第i种物品分成若干件不同的物品，其中每个不同的物品有一个系数，这些系数分别为1，2，4，……2^(k+1)，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数，这件新物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。例如，如果n[i]为13，就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品，(取6是为了不和前面的重复，保证新分成的每个都是不同的物品)。
二进制的不同优化方法：

  for(i=0;i<n;i++)
  {
        for(j=1;j<=a[i].num;j<<=1){ //分成不同的件，<<=等同于*=2
            v[t]=j*a[i].v;
            w[t]=j*a[i].w;
            t++;
            a[i].num-=j;
        }
        if(a[i].num>0){     //最后一项补齐
            v[t]=a[i].num*a[i].v;
            w[t]=a[i].num*a[i].w;
            t++;
        }
    }

或者

for (j = 1; j * a[i] <= m && j <= x; x -= j, j *= 2)
	b[++t] = j * a[i];
if (x) 
   b[++t] = x * a[i];//补齐最后一项

一篇很好的博客：
poj1014完全背包 hdu2191多重背包 经典二进制优化