牛客网：连续子数组的最大和(动态递归解法)

Posted 2021-05-17 It‘s so simple

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题目描述

连续子数组的最大和

输入一个整型数组，数组里有正数也有负数。数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为 O(n).

示例1：

输入：[1,-2,3,10,-4,7,2,-5]
输出：18
解释：输入的数组为{1,-2,3,10,-4,7,2,-5}，和最大的子数组为{3,10,-4,7,2}，因此输出为该子数组的和 18。

题解

分析题目可知，本题要求一个所有子数组和的最大值，因此我们考虑使用动态递归来进行求解。
接下来我们就按动态递归的步骤来逐步进行探讨。

问题：

求该整型数组中所有子数组和的最大值

状态F(i)：

根据该问题，我们可以抽象出的子问题为求出该整型数组中前 i 个元素组成的数组，它的最大连续和。但是该状态在推导转移方程的时候，我们会发现一个很尴尬的问题，F(i - 1)的值，可能会出现两种情况：

① F(i -1)中包含 a[i - 1]的元素，举个例子就是{1,2,3,-9,10}，当i = 3时，F(2)中是包含a[2]的。(数组从1开始计数)
② F(i - 1)中不包含 a[i - 1]的元素，当数组为{1,2,3,-9,10}时，当 i = 4时，F(3)中是不包含a[3]的。

因此这里我们就无法一步的将F(i - 1) 转化为 F(i)，因为有不可控的因素存在，所以我们这里抽象出来的子问题是不能作为本题的状态的。

既然说有不可控的因素存在，那我们可以对其进行限制，是不可控变为可控的状态，比如我们可以将问题重新抽象为求以第i个元素结尾的数组的最大连续和，这样我们对他进行了条件限制，使得F(i-1)可以一步的变为F(i)，也就能轻松的推出转移方程了。

因此，本题真正的状态F(i)为：

求出该整型数组中以第 i 个元素结尾的最大连续子数组的和

转移方程：

在推导转移方程的时候，我们要先考虑那些能直接一步变到F(i)的情况，最先考虑的肯定是F(i-1)的情况，看看它是否能通过某些操作，一步的变到F(i)。F(i - 1) 与 F(i) 的区别就是多了一个a[i]的数组。

我们在推导状态的时候，已经做出限制，F(i-1)一定是以第 i - 1 个元素结尾的最大连续和，因此，在这里我们只需考虑 a[i] 的影响，以第 i 个元素为结尾，总共会有两种情况：

• F(i) = F(i - 1) + a[i]
• F(i) = a[i]

那么这里的F(i)就取这两种情况中的最大值。那么推出的转移方程就为

F(i) = max( F(i-1)+a[i] , a[i])。

初始值：

F(1) = a[1]，当数组只有一个元素时，它的最大连续和就是这个元素

返回值：

但是我们要清楚的是，这个转移方程求出来的只是一个局部的最优解，即它只是求出了当前以 i 结尾的最大连续和，但是还存在着不以第 i 个元素结尾的情况存在，因此，这里我们的返回值是要从求出来的F(n)数组中，找出该数组中的最大值。即：

max(F(n))

题解代码

class Solution {
public:
    int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array) {
       if(array.empty())
           return 0;
        vector<int> maxF(array.size()+1);
        maxF[1] = array[0];
        for(int i = 2;i <= array.size();++i)
        {
                maxF[i] = max(maxF[i-1]+array[i-1],array[i-1]);
        }
        
        int ret = maxF[1];
        
        for(int i = 2; i <= array.size();++i)
        {
            ret = max(ret,maxF[i]);
        }
        
        
        return ret;
    }
};