了解数据结构之平衡二叉树 （AVL）-插入和删除

Posted 2021-05-05 与你同在架构之路

大家好，我是宇哥。

前言

上一期我们聊了关于avl树的基本知识和旋转，因为旋转是基础，那么今天就要聊聊插入和删除。

AVL操作

插入

AVL树的基本操作一般涉及运作同在不平衡的二叉查找树所运作的同样的算法。但是要进行预先或随后做一次或多次所谓的"AVL旋转"。

/*  * 将结点插入到AVL树中，并返回根节点 * * 参数说明:  * tree AVL树的根结点 * key 插入的结点的键值 * 返回值:  * 根节点 */private AVLTreeNode<T> insert(AVLTreeNode<T> tree, T key) { if (tree == null) { // 新建节点 tree = new AVLTreeNode<T>(key, null, null); if (tree==null) { System.out.println("ERROR: create avltree node failed!"); return null; } } else { int cmp = key.compareTo(tree.key);
 if (cmp < 0) { // 应该将key插入到"tree的左子树"的情况 tree.left = insert(tree.left, key); // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。 if (height(tree.left) - height(tree.right) == 2) { if (key.compareTo(tree.left.key) < 0) tree = leftLeftRotation(tree); else tree = leftRightRotation(tree); } } else if (cmp > 0) { // 应该将key插入到"tree的右子树"的情况 tree.right = insert(tree.right, key); // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。 if (height(tree.right) - height(tree.left) == 2) { if (key.compareTo(tree.right.key) > 0) tree = rightRightRotation(tree); else tree = rightLeftRotation(tree); } } else { // cmp==0 System.out.println("添加失败: 不允许添加相同的节点！"); } }
 tree.height = max( height(tree.left), height(tree.right)) + 1;
 return tree;}
public void insert(T key) { mRoot = insert(mRoot, key);}

删除

从AVL树中删除，可以通过把要删除的节点向下旋转成一个叶子节点，接着直接移除这个叶子节点来完成。因为在旋转成叶子节点期间最多有log n个节点被旋转，而每次AVL旋转耗费固定的时间，所以删除处理在整体上耗费O(log n) 时间。

/*  * 删除结点(z)，返回根节点 * * 参数说明:  * tree AVL树的根结点 * z 待删除的结点 * 返回值:  * 根节点 */private AVLTreeNode<T> remove(AVLTreeNode<T> tree, AVLTreeNode<T> z) { // 根为空 或者 没有要删除的节点，直接返回null。 if (tree==null || z==null) return null;
 int cmp = z.key.compareTo(tree.key); if (cmp < 0) { // 待删除的节点在"tree的左子树"中 tree.left = remove(tree.left, z); // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。 if (height(tree.right) - height(tree.left) == 2) { AVLTreeNode<T> r = tree.right; if (height(r.left) > height(r.right)) tree = rightLeftRotation(tree); else tree = rightRightRotation(tree); } } else if (cmp > 0) { // 待删除的节点在"tree的右子树"中 tree.right = remove(tree.right, z); // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。 if (height(tree.left) - height(tree.right) == 2) { AVLTreeNode<T> l = tree.left; if (height(l.right) > height(l.left)) tree = leftRightRotation(tree); else tree = leftLeftRotation(tree); } } else { // tree是对应要删除的节点。 // tree的左右孩子都非空 if ((tree.left!=null) && (tree.right!=null)) { if (height(tree.left) > height(tree.right)) { // 如果tree的左子树比右子树高； // 则(01)找出tree的左子树中的最大节点 // (02)将该最大节点的值赋值给tree。 // (03)删除该最大节点。 // 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身； // 采用这种方式的好处是: 删除"tree的左子树中最大节点"之后，AVL树仍然是平衡的。 AVLTreeNode<T> max = maximum(tree.left); tree.key = max.key; tree.left = remove(tree.left, max); } else { // 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等，或右子树比左子树高1) // 则(01)找出tree的右子树中的最小节点 // (02)将该最小节点的值赋值给tree。 // (03)删除该最小节点。 // 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身； // 采用这种方式的好处是: 删除"tree的右子树中最小节点"之后，AVL树仍然是平衡的。 AVLTreeNode<T> min = maximum(tree.right); tree.key = min.key; tree.right = remove(tree.right, min); } } else { AVLTreeNode<T> tmp = tree; tree = (tree.left!=null) ? tree.left : tree.right; tmp = null; } }
 return tree;}
public void remove(T key) { AVLTreeNode<T> z; 
 if ((z = search(mRoot, key)) != null) mRoot = remove(mRoot, z);}

搜索

可以像普通二叉查找树一样的进行，所以耗费O(log n)时间，因为AVL树总是保持平衡的。不需要特殊的准备，树的结构不会由于查找而改变。（这是与伸展树搜索相对立的，它会因为搜索而变更树结构。）

AVL树测试

1. 新建AVL树

2. 依次添加"3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9" 到AVL树中。

2.01 添加3,2 添加3,2都不会破坏AVL树的平衡性。

2.02 添加1 添加1之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。旋转过程如下:

2.03 添加4 添加4不会破坏AVL树的平衡性。

2.04 添加5 添加5之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下:

2.05 添加6 添加6之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下:

2.06 添加7 添加7之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下:

2.07 添加16 添加16不会破坏AVL树的平衡性。

2.08 添加15 添加15之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下:

2.09 添加14 添加14之后，AVL树失去平衡(RL)，此时需要对AVL树进行旋转(RL旋转)。旋转过程如下:

2.10 添加13 添加13之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下

2.11 添加12 添加12之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。旋转过程如下:

2.12 添加11 添加11之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。旋转过程如下:

2.13 添加10 添加10之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。旋转过程如下:

2.14 添加8 添加8不会破坏AVL树的平衡性。

2.15 添加9 但是添加9之后，AVL树失去平衡(LR)，此时需要对AVL树进行旋转(LR旋转)。旋转过程如下:

3. 打印树的信息

输出下面树的信息:

前序遍历: 7 4 2 1 3 6 5 13 11 9 8 10 12 15 14 16 中序遍历: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 后序遍历: 1 3 2 5 6 4 8 10 9 12 11 14 16 15 13 7 高度: 5最小值: 1最大值: 16

4. 删除节点8

删除操作并不会造成AVL树的不平衡。

删除节点8之后，再打印该AVL树的信息。

高度: 5中序遍历: 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16

思考：

    avl有什么问题么？

动画效果参考 ：

https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/AVLtree.html