已知fx等于sin2x x属于r 求fx的最小正周期和最大值

Posted 2023-03-21

sin2x的最小正周期为π，最大值是1。

三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。其中余切函数是正切函数的倒数，正割函数是余弦函数的倒数，余割函数是正弦函数的倒数。

三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

在直角三角形中，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。对∠BAC而言，对边（opposite）a=BC、斜边（hypotenuse）c=AB、邻边（adjacent）b=AC，一个锐角存在六个三角函数，即正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，分别写作sin、cos、tg、ctg、sec和cosec。

六边形的六个角分别代表六种三角函数，存在如下关系：

1）对角相乘乘积为1，即sinθ·cscθ=1； cosθ·secθ=1； tanθ·cotθ=1。称为倒数关系。

2）六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积，如：sinθ=cosθ·tanθ；tanθ=sinθ·secθ，叫做商数关系。

3）阴影部分的三角形，处于上方两个顶点的平方之和等于下顶点的平方值，叫做平方关系如：

；

；

。

正弦值在

随角度增大（减小）而增大（减小），在

随角度增大（减小）而减小（增大）；

余弦值在

随角度增大（减小）而增大（减小），在

随角度增大（减小）而减小（增大）；

正切值在

随角度增大（减小）而增大（减小）；

余切值在

随角度增大（减小）而减小（增大）。

在平面直角坐标系xOy中设∠β的始边为x轴的正半轴，设点P（x，y）为∠β的终边上不与原点O重合的任意一点，设r=OP，令∠β=∠α，则：

，

，

，

，

，

。

除了这六个三角函数外，还有以下三角函数：正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数。外正割函数和外余割函数。

六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，

三角函数

单位圆的方程是：对于圆上的任意点（x,y），x²+y²=1。

图像中给出了用弧度度量的一些常见的角:逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sinθ=y/1 和 cosθ=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。

对于大于 2π 或小于等于2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：对于任何角度θ和任何整数k。

周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。

在正切函数的图像中，在角kπ 附近变化缓慢，而在接近角 （k+ 1/2）π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = （k+ 1/2）π 有垂直渐近线。这是因为在 θ 从左侧接进 （k+ 1/2）π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 （k+ 1/2）π 的时候函数接近负无穷。

三角函数

另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别 是，对于这个圆的弦AB，这里的 θ 是对向角的一半，sinθ是AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。cosθ是水平距离OC，versinθ=1-cosθ是CD。tanθ是通过A的切线的线段AE的长度，所以这个函数才叫正切。cotθ是另一个切线段AF。 secθ=OE和 cscθ=OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作OA沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE是 exsecθ= secθ-1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2的时候发散，而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。

依据单位圆定义，可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值。如图所示，圆O是一个单位圆，P是α的终边与单位圆上的交点，M点是P在x轴的投影，A（1,0）是圆O与x轴正半轴的交点，过A点做过圆O的切线。

那么向量MP对应的就是α的正弦值，向量OM对应的就是余弦值。OP的延长线（或反向延长线）与过A点的切线的交点为T，则向量AT对应的就是正切值。向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的。

借助线三角函数线，我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正，余弦值为负，正切值为负。

在三角函数中，有一些特殊角，例如30°、45°、60°，90°，这些角的三角函数值为简单单项式，计算中可以直接求出具体的值。

如果一个函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期（minimal positive period）。例如，正弦函数的最小正周期是2π。

正数函数

对于正弦函数y=sin x，自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。

希望我能帮助你解疑释惑。

参考技术A

∵f(x)=sin2x，且x∈R

∵T=2兀/w

∴T=2兀/2=兀

∵A=1 ∴f(x)最大值为1。

希望对你有帮助请采纳

参考技术B 周期π和最大值1，最最基本，不需要任何过程，直接写答案，
你这个好像是考试啊，平时学习太不努力了，

求多变量函数的最小值

【中文标题】求多变量函数的最小值

【英文标题】：Find the minimum of a multi-variable function

【发布时间】：2019-11-05 16:04:14

【问题描述】：

问题：在窗口[0,2]×[中求f(x,y)=x^2+y^2-2*x-6*y+14的最小值2,4]，x 和 y 的增量为 0.01。

我的方法：求一阶偏导数 fx 和 fy。临界点同时满足方程 fx(x,y) = 0 和 fy(x,y) = 0。求二阶偏导数 fxx(x,y)、fyy(x,y) 和 fxy(x,y) 以求 D。

clc
clear all
syms x y
fun=x^2+y^2-2*x-6*y+14;
fx=diff(fun,x);
fy=diff(fun,y);
pt=solve(fx==0,fy==0);
sol = struct2array(pt)
fxx=diff(fx,x);
fyy=diff(fy,y);
fxy=diff(fx,y);
D=subs(fxx,[x y],[1 3])*subs(fyy,[x y],[1 3])-(subs(fxy,[x y],[1 3]))^2
fxx_val=subs(fxx,[x y],[1 3])
minimum_value=subs(fun,[x y],[1 3])

我在回答问题时做对了吗？除了提到这个问题的窗口和增量怎么样。任何提示或解决方案将不胜感激。 提前致谢。

【问题讨论】：

可以使用Matlab内置的优化工具吗？

@Adam 是的，先生。允许使用内置优化工具

【参考方案1】：

使用函数评估优化方法代替梯度

请通读代码

f = @(x,y)x.^2+y.^2-2.*x-6.*y+14;

% x range
x_lb = 0;
x_ub = 2;

% y range
y_lb = 2;
y_ub = 4;

step = 0.01;

% lower bound of x, initial guess as xmin
xmin = x_lb;

% lower bound of y, initial guess as ymin
ymin = y_lb;

% f at the lower bounds, initial  fmin 
fmin = f(xmin, ymin);

for x = x_lb:step:x_ub

    for y = y_lb:step:y_ub
        % function evaluation
        fval = f(x, y);

        %replace fmin if the newly evaluated f is less than the actual fmin
        if fval < fmin
            fmin = fval;

            % save current x and y where f is minimum 
            xmin = x;
            ymin = y;

        end
    end

end

解决方案

xmin = 1;
ymin = 3;
fmin = 4;

【讨论】：

谢谢先生。现在我明白了它们所说的窗口和增量是什么意思。我会在 1 天后接受您的答复 :) 再次感谢

【参考方案2】：

我建议利用 Matlab 的矩阵计算功能。那么，就不需要循环了。

% your function, look up anonymous functions 
func = @(x,y) x.^2 + y.^2 - 2.*x - 6.*y + 14;

% get matrices for you x- and y-window
[xg, yg] = meshgrid(0:.01:2, 2:0.01:4);

% compute all in one call
result = func(xg,yg);

% find total minimum
minimum = min(result(:));

% find the index of the (first) minimum, for other equations, there might
% be more than one
ind = find(result==minimum, 1);

% Output the result
fprintf('The minimum (%d) is located at x: %d, y: %d.\n', minimum,  xg(ind), yg(ind));