基于DFS的求割点算法

Posted 2022-12-05 Airsolstice

基于DFS的求割点算法：

笔记;

图的双连通性：就是图中不存在割点的图

双连通性的作用：具有双连通性的网络，不会因为一个局域网瘫痪，而导致网络全部瘫痪；因为，每个点与点的联系在双连通图中不是唯一的，就是说去掉一个点这个同不会变成两个不关联的点集

实现思路：

**对每一个点都都进行测试，当删除这个点和这个点的相关边，DFS搜索能否一次遍历完所有点，如果可以，则这个点不是割点；如果不可以，则这个点是割点

这个方法实现起来，其实很简单，维护一张邻接矩阵；然后在删除点和相关边后，执行DFS算法，判断，即可

**另一种思路是：

设：这张图是连通的

准备工作：求出这张图的邻接表，求出这张图的边集，点集

实现过程：

“”按照DFS搜索遍历一次图，将遍历序列编号（按从小到大的顺序，即根为1），将遍历走过的边集记录，称为树边集

**将树边集的反向边集求出，称为反树边集

**将图的边集减去树边集，反树边集，得到一个背边集

**

**以v1为起点，执行深搜，得到序列：num(x)=｛1，2，3，4，5，6，7 ｝

边集=｛｛1，2｝，｛1，3｝，｛2，1｝，｛2，3｝，｛3，1｝，｛3，2｝，｛3，4｝，｛4，3｝，｛4，5｝，｛4，6｝，｛4，7｝，｛5，4｝，｛6，4｝，｛6，7｝，｛7，4｝，｛7，6｝｝

点集=｛1，2，3，4，5，6，7｝

树边集=｛｛1，2｝，｛2，3｝，｛3，4｝，｛4，5｝，｛4，6｝，｛6，7｝｝

反树边集=｛｛2，1｝，｛3，2｝，｛4，3｝，｛5，4｝，｛6，4｝，｛7，6｝｝

边集-树边集-反树边集=｛｛1，3｝，｛3，1｝，｛4，7｝，｛7，4｝｝

背边集=形如｛u,w｝且num（w）>num（u）=｛｛3，1｝，｛7，4｝｝

找出背边集的作用是为了找出每个点的最小背边（由于图的原因，并没有多条背边的比较）

取出一条背边｛u，w｝，维护一个low（x）数组，初始值都为自己本身

若num（w）<num（x）<=num（u），则将w赋值给low的x位置，得到low（x）=｛1，1，1，4，5，4，4｝

**在深度遍历树中，割点有两个性质：

*割点当且仅当它有多余一个的儿子，那么它就是割点

*对于除去根的其它任何点u，当且仅当他有某个儿子w使得num（u）<=low（w），那么它就是割点

所以，v1：只有一个儿子，所以不是割点

v2 ：num（2）>low（3），不是割点

v3：num（3）< low（4），是割点

v4：num（4）<low（5），是割点

v5：没有儿子节点，不是割点

v6：num（6）>low（7），不是割点

v7：没有儿子节点，不是割点

因此，割点只有v3，v4

到此，算法结束...

其实，DFS还可以判断一个图是否是强连通图，如果不是必定存在某个点或某些点为起点的深搜无法一次完成