tarjan求割边割点

Posted 2020-09-11 江屿

tarjan求割边割点

内容及代码来自http://m.blog.csdn.net/article/details?id=51984469

割边：在连通图中，删除了连通图的某条边后，图不再连通。这样的边被称为割边，也叫做桥。
割点：在连通图中，删除了连通图的某个点以及与这个点相连的边后，图不再连通。这样的点被称为割点。
DFS搜索树：用DFS对图进行遍历时，按照遍历次序的不同，我们可以得到一棵DFS搜索树。

树边：在搜索树中的蓝色线所示，可理解为在DFS过程中访问未访问节点时所经过的边，也称为父子边
回边：在搜索树中的橙色线所示，可理解为在DFS过程中遇到已访问节点时所经过的边，也称为返祖边、后向边
观察DFS搜索树，我们可以发现有两类节点可以成为割点。对根节点u，若其有两棵或两棵以上的子树，则该根结点u为割点；对非叶子节点u(非根节点)，若其中的某棵子树的节点均没有指向u的祖先节点的回边，说明删除u之后，根结点与该棵子树的节点不再连通；则节点u为割点。对于根结点，显然很好处理；但是对于非叶子节点，怎么去判断有没有回边是一个值得深思的问题。我们用dfn[u]记录节点u在DFS过程中被遍历到的次序号，low[u]记录节点u或u的子树通过非父子边追溯到最早的祖先节点(即DFS次序号最小)，那么low[u]的计算过程如下。

 

对于给的例子，其求出的dfn和low数组如下。
id     123456
dfn   123456
low   111444
可以发现，对于情况2，当(u,v)为树边且low[v]≥dfn[u]时，节点u才为割点。而当(u,v)为树边且low[v]>dfn[u]时，表示v节点只能通过该边(u,v)与u连通，那么(u,v)即为割边。tarjan算法的时间复杂度是O(n+m)的，非常快。
以hihoCoder1183为例给出代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<vector>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 int n,m,order=0;
 6 int low[20004],dfn[20004],father[20004],son[20004];
 7 //father:父结点 son:子结点个数 
 8 vector<int> cutpoint,edge[20004];
 9 vector< pair<int,int> > cutedge;
10 
11 void tarjan(int u)
12 {
13     dfn[u]=low[u]=++order;
14     bool flag=false;
15     for (int i=0;i<edge[u].size();i++)
16     {
17         int v=edge[u][i];
18         if(!dfn[v])
19         {
20             son[u]++;
21             father[v]=u;
22              tarjan(v);
23             if(low[v]>=dfn[u]) flag=true;
24             //点u为割点 
25             if(low[v]>dfn[u]) cutedge.push_back(make_pair(min(v,u),max(v,u)));
26             //边v-u为割边 
27             low[u]=min(low[u],low[v]);
28         }
29         else if(v!=father[u]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
30     }
31     //根节点若有两棵或两棵以上的子树则该为割点
32     //非根节点若所有子树节点均没有指向u的祖先节点的回边则为割点
33     if((father[u]==0&&son[u]>1)||(father[u]&&flag)) cutpoint.push_back(u);
34 }
35 
36 int main()
37 {
38     scanf("%d%d",&n,&m);
39     for (int i=1;i<=m;i++)
40     {
41         int u,v;
42         scanf("%d%d",&u,&v);
43         edge[u].push_back(v),edge[v].push_back(u);
44     }
45     tarjan(1);
46     sort(cutedge.begin(),cutedge.end());
47     sort(cutpoint.begin(),cutpoint.end());
48     if(0==cutpoint.size()) puts("Null");
49     else
50     {
51         printf("%d",cutpoint[0]);
52         for (int i=1;i<cutpoint.size();i++) printf(" %d",cutpoint[i]);
53         puts("");
54     }
55     for(int i=0;i<cutedge.size();i++) printf("%d %d\\n",cutedge[i].first,cutedge[i].second);
56 }

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 不过话说一整篇博客，光复制别人的东西不大好，那我就上一个自己打的链表实现的代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<vector>
 3 #include<algorithm>
 4 #define N 420000
 5 using namespace std;
 6 vector<int>cutpoint;
 7 vector<pair<int,int> >cutedge;
 8 int next[N],to[N],num,head[N],dfn[N],low[N],tim,son[N],father[N],n,m,a,b;
 9 bool flag;
10 void add(int false_from,int false_to){
11     next[++num]=head[false_from];
12     to[num]=false_to;
13     head[false_from]=num;
14 }
15 void dfs(int x){
16     dfn[x]=low[x]=++tim;
17     bool flag=0;
18     for(int i=head[x];i;i=next[i]){
19         if(!dfn[to[i]]){
20             son[x]++;
21             father[to[i]]=x;
22             dfs(to[i]);
23             if(low[to[i]]>=dfn[x])
24                 flag=1;
25             if(low[to[i]]>dfn[x])
26                 cutedge.push_back(make_pair(min(x,to[i]),max(x,to[i])));
27             low[x]=min(low[x],low[to[i]]);
28         }
29         else
30             if(father[x]!=to[i])
31                 low[x]=min(low[x],dfn[to[i]]);
32     }
33     if((!father[x]&&son[x]>1)||(father[x]&&flag))
34         cutpoint.push_back(x);
35 }
36 int main(){
37     scanf("%d%d",&n,&m);
38     for(int i=1;i<=m;++i){
39         scanf("%d%d",&a,&b);
40         add(a,b);
41         add(b,a);
42     }
43     dfs(1);
44     sort(cutpoint.begin(),cutpoint.end());
45     sort(cutedge.begin(),cutedge.end());
46     printf("%d",cutpoint[0]);
47     for(int i=1;i<cutpoint.size();i++)
48         printf(" %d",cutpoint[i]);
49     printf("\\n");
50     for(int i=0;i<cutedge.size();i++)
51         printf("%d %d\\n",cutedge[i].first,cutedge[i].second);
52     return 0;
53 }

View Code