tarjan求割点割边的思考

Posted 2020-10-07

这个文章的思路是按照这里来的。

首先来看求割点。割点必须满足去掉其以后，图被分割。tarjan算法考虑了两个：

　　一，根节点如果有两颗及以上子树，它就是割点。这个应该说是显然的。

　　二，对于普通的结点a，如果它递归树的子树中，有任意节点b的low[b]<dfn[a]，那么它就不是割点，反之则是割点。

　　我们先来证明如果low[b]<dfn[a]，a一定不是割点。low[b]<dfn[a]说明有一个结点，通过非树枝边可以访问到a以前的结点，那么显然去掉a以后，b依然与a以上的递归树联通，a不是割点。再来证明如果low[b]>=dfn[a]，a一定是割点。这说明a的子树中没有一个节点能够连到递归树上，那么a去掉以后显然就是割点。

再来考虑桥：

桥：若是一条无向边（u，v）是桥，

            1）当且仅当无向边（u，v）是树枝边的时候，需要满足dfn(u)<low(v)，也就是v向上翻不到u及其以上的点，那么u--v之间一定能够有1条或者多条边不能删去，因为他们之间有一部分无环，是桥。如果v能上翻到u那么u--v就是一个环，删除其中一条路径后，能然是连通的。

　　引理：如果存在一条非树枝边（u，v），说明存在一条从u到v且单纯由树枝边组成的路径。考虑u，v的连通性。如果图去除（u，v）联通，那么引理成立。如果图去除（u，v）不连通，说明（u，v）一定是树枝边，与假设矛盾。

　　首先证明只有递归树的树枝边可能是桥。通过引理我们发现非树枝边显然不是桥。然后我们要证明只有（u，v）是树枝边，且dfn(u)<low(v)时（u，v）才是桥。这个的证明其实和上面的差不多，也是通过递归树的联通性来证明的。这样就证完了。。

感觉逻辑还是不清楚，。。。。

还有一个low和dfn的问题：在tarjan求割点时，如果v再栈中，必须写成low[u]=min(low[u]，dfn[v])。因为u可能被传送到了非树枝边到不了的地方。但是求强连通分量可以这样，是因为如果能走到low[u]=dfn[v]这一步，它们一定组成强连通分量。