理解快速离散傅里叶变换算法(FFT)

Posted 2022-10-14 Jie Qiao

本文是视频The Fast Fourier Transform (FFT): Most Ingenious Algorithm Ever?的整理。

离散傅里叶变换的用法

FFT是一个非常快速的离散傅里叶变换算法，他的算法复杂度是$O(n\log n)$。在讲解FFT之前，我们先介绍普通的离散傅里叶变换的的输入和输出是什么？以及一个离散傅里叶变换的简单应用。离散傅里叶变换的输入是一个数组，比如[5,3,2,1]，输出是对应的复数，[11,3-2i,3,3+2i]，可以自己试试：

from numpy.fft import fft
fft([5,3,2,1])

这个5,3,2,1可以看做是一个多项式的系数：

$$P(x)=5+3x+2x^2+x^3$$

而这个对应的复数其实是这个多项式的在点$P\left(w^0\right),P\left(w^1\right),P\left(w^2\right),P\left(w^3\right)$的值，其中$w=e^{2\pi i/n}$,这里$n=4$。之所以$w$要设置成这个值是因为复数有个神奇的周期性：

对应着，$w^0=1,w^1=e^{2\pi i/4}=i,w^2=e^{4\pi i/4}=-1,w^3=e^{8\pi i/4}=-i$，可以发现他相当于从1开始，在这个单位元上平均取了4个点，而且这4个点正是多项式$x^4=1$的根。可以看下面这个视频，里面也介绍了复数的这种周期性的性质：

【官方双语】奥数级别的数数问题

我们把这四个点代进方程

$$\begin{array}{rl}P\left(w^0\right)& =5+3+2+1=P(1)=11\\ P\left(w^1\right)& =5+3\omega +2{\omega }^2+{\omega }^3=P(i)=3+2i\\ P\left(w^2\right)& =5+3{\omega }^2+2{\omega }^4+{\omega }^6=P(-1)=3\\ P\left(w^3\right)& =5+3{\omega }^3+2{\omega }^6+{\omega }^{12}=P(-i)=3-2i\end{array}$$

写成矩阵的形式就是：
$$\left[\begin{array}{c}P\left({\omega }^0\right)\\ P\left({\omega }^1\right)\\ P\left({\omega }^2\right)\\ P\left({\omega }^3\right)\end{array}\right]=[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& \omega & {\omega }^2& {\omega }^3\\ 1& {\omega }^2& {\omega }^4& {\omega }^8\\ 1& {\omega }^3& {\omega }^6& {\omega }^{12}\end{array}\rfloor$$

快速傅里叶变换(FFT)详解

fft窄带高分辨率算法

快速傅里叶变换FFT及其延伸（只是一个引导）

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