算法小讲堂之B树和B+树（浅谈）|考研笔记

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了算法小讲堂之B树和B+树（浅谈）|考研笔记相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

文章目录

一、前言

前面学习了平衡二叉树（ A V L AVL AVL 树），我们知道了平衡的概念就是让树尽量的 “胖” ，让它的高度不会线性增长，那么这篇笔记主要是分享 B B B 树和 B + B+ B+ 树的原理、应用（不涉及代码实现，也许有一天会补上，谁知道呢）

二、定义

B B B 树（又称 B − B- B− 树）和 B + B+ B+ 树其实差别不是很大，所以我会着重介绍 B B B 树，然后最后指出 B + B+ B+ 树的不同点

那么什么是 B B B 树呢？

B B B 树，又称 多路平衡查找树 ， B B B 树中所有结点的孩子个数的最大值称为 B B B 树的 阶 ，通常用 m m m 表示。

这里的多路其实就是指这一颗树可能不只是最多有两颗子树，具体多少颗是由 B B B 树的阶决定的，作为一颗 B B B 树应该满足一下要求：

  • ①若根节点不是 叶结点 ，则至少有两个子树（即一个关键字）
  • ②除了根结点外，其他每个结点至少有 m 2 \\fracm2 2m​ 个子树，最多有 m m m 个子树，对应的每一个结点至少有 ⌈ m 2 − 1 ⌉ \\left \\lceil \\fracm2 -1 \\right \\rceil ⌈2m​−1⌉ 个关键字
  • ③每一个结点的关键字从左到右升序排列
  • ④ B B B 树是一个严格的多路平衡查找树，它的左右子树的高度室相等的，且叶结点处于同一层（即所有结点的平衡因子都为 0 0 0 ）

上面提到的关键字就是对于每一个结点可能会存在多个值的情况，这些值按照升（降）序排列，用于划分子树区间，之前的二叉平衡树我们对于每一个结点只有一个关键字，我们就有两个分支，显然若是有 m m m 个关键字则会有 m + 1 m+1 m+1 个分支，其实这就是一个简单的区间划分（相邻关键字划分一个区间、前后俩结点单独一个分区）

PS：这里需要注意一下，在王道的书上是将叶结点（P285页）定义成了不存在的一层，但是在严蔚敏的书上定义的就是最后一层有关键字的结点，比如下图中，王道将第四层定义为叶子节点，严蔚敏的书上认为叶子结点（终端节点）是第三层，而笔者也认为第三层才是叶子节点或者称为终端节点

三、原理

3.1 树的高度

假设一颗二叉树包含 n ( n > = 1 ) n(n>=1) n(n>=1) 个关键字、高度为 h h h ，阶数为 m m m 的 B B B 树

  • 至少高度：
    既然是至少高度，那么我们应该尽量希望每个结点的关键字都是满即 m − 1 m-1 m−1 的，于是我们得到了如下不等式：

∵ n < = ( m − 1 ) ( 1 + m + m 2 + … … + m h − 1 ) n < = m h − 1 ∴ h > = l o g m ( n + 1 ) ∵ n <=(m-1)(1+m+m^2+……+m^h-1) \\\\ n <= m^h - 1 \\\\ ∴ h>=log_m(n+1) ∵n<=(m−1)(1+m+m2+……+mh−1)n<=mh−1∴h>=logm​(n+1)

  • 至多高度：

既然是至多，那么我们尽可能希望每一个结点的关键字都是最少的即 ⌈ m 2 ⌉ \\left \\lceil \\fracm2 \\right \\rceil ⌈2m​⌉ ，前面也提到了根节点可以特殊一下 最少一个关键字

那么我们会发现，第一层至少有 1 1 1 个结点，第二层至少有 2 2 2 个结点，第三层至少有 2 ⌈ m 2 ⌉ 2\\left \\lceil \\fracm2 \\right \\rceil 2⌈2m​⌉ 个结点……第 h + 1 h+1 h+1 层至少有 2 ⌈ m 2 ⌉ h − 2 2\\left \\lceil \\fracm2 \\right \\rceil ^h-2 2⌈2m​⌉h−2 这一层就是不包含关键字的一层，即查找失败的一层，又因为关键字的个数为 n n n 那么说明第 h + 1 h+1 h+1 层最少 n + 1 n+1 n+1 个结点，于是我们得到：

∵ n + 1 > = 2 ( ⌈ m 2 ⌉ ) h − 1 ∴ h < = l o g ⌈ m 2 ⌉ n + 1 2 + 1 ∵n+1>=2(\\left \\lceil \\fracm2 \\right \\rceil)^h-1 \\\\ \\\\ ∴ h <= log_\\left \\lceil \\fracm2 \\right \\rceil\\fracn+12 + 1 ∵n+1>=2(⌈2m​⌉)h−1∴h<=log⌈2m​⌉​2n+1​+1

假设一颗 3 3 3 阶 B B B 树一共有 8 8 8 个关键字，那么其树的高度范围为： 2 < = h < = 3.17 2<=h<=3.17 2<=h<=3.17

3.2 查找操作

前面也说了 B B B 树的每一个结点在内部都是有序排列的，并且结点与结点之间也是有一定关系的，在之前的平衡二叉树中，我们有两条路的分支，但是在 B B B 树的查找中我们需要根据结点的多路分支做决定，那么其实查找操作和前面的平衡二叉树|二叉查找树是一样的啦

  • ①先让查找值和 B B B 树的根节点的第一个关键字比较，若是匹配，则查找成功
  • ②若是匹配不成功继续和后面的关键字匹配，若是找到匹配，则匹配成功
  • ③若是找到一个大于查找值的关键字，那么就需要往这个关键字和前一个关键字之间的分支结点往下搜索，继续重复上面的关键字匹配操作
  • ④若是当前结点最后一个关键字比当前查找的值还小，那么就继续往该结点的最右分支往下继续搜索，重复上面的操作
  • ⑤若是结点查找到了空结点，那么说明查找失败

3.3 插入操作

先通过上面的定位操作定位到一个查找失败的结点，然后检查该节点的父结点的关键字个数，若是关键字个数小于 m − 1 m-1 m−1 那么说明可以直接插入到该节点（叶子节点），否则的话插入后会引起结点的分裂，因为要维护平衡的关系

分裂的方法：

  • 取一个新结点，在插入 k e y key key 后的原结点， 从中间位置 ⌈ m 2 ⌉ \\left \\lceil \\fracm2 \\right \\rceil ⌈2m​⌉将其中的关键宇分为两部分
  • 左部分包含的关键宇放在原结点中， 右部分包含的关键宇放到新结点中，中间位置 ⌈ m 2 ⌉ \\left \\lceil \\fracm2 \\right \\rceil ⌈2m​⌉ 的结点插入原结点的父结点 。
  • 若此时导致其父结点的关键字个数也超过了上限，则继续进行这种分裂操作， 直至这个过程传到根结点为止 ，进而导致 B B B 树高度增 1 1 1

例如下面的分裂操作：


我们可以来观察这个过程：

实际上就是将 ⌈ m 2 ⌉ \\left \\lceil \\fracm2 \\right \\rceil ⌈2m​⌉ 位置的关键字直接变为其左边和右边关键字的父节点，然后因为要往上贡献一个关键字，这可能会导致父节点层分裂，然后继续向上贡献一个关键字，以此类推，直到停止贡献，或者到达根节点，分裂出新的根，比如在上面的插入 52 52 52 后我们再插入 61 、 62 61、62 61、62 就会让这棵树的高度拔高一层，流程如下：

3.4 删除操作

删除操作要更加复杂一点，大体分为两种情况：

3.4.1 删除关键字是非叶子结点

那么我们直接将该结点的前驱（后驱）关键字拿来顶替就行，例如下图删除 80 80 80 的情况

3.4.2 删除关键字是叶子结点

主要分为三种情况：

  • 一、如果删除关键字后该结点的关键字个数仍然大于等于 ⌈ m 2 ⌉ \\left \\lceil \\fracm2 \\right \\rceil ⌈2m​⌉ 那么直接删除就完事
  • 二、如果删除关键字后该结点的关键字个数等于 ⌈ m 2 − 1 ⌉ \\left \\lceil \\fracm2-1 \\right \\rceil ⌈2m​−1⌉