B树和B+树

Posted 2022-07-26 神级游走

B树

B树是多路平衡查找树。每个节点存放的键值对，即索引和数据。m阶B树的定义：

每个节点最多有m个子节点，最多有m-1个关键字，最少有m/2个关键字。（根节点最少可以只有一个元素）

每个节点中的关键字从小到大排序，每个关键字的左子树中所有关键字都小于它，右子树中所有关键字都大于它。

所有叶子节点位于同一层。

B树插入：

当关键字插入某一个节点后，如果节点中关键字个数小于等于m-1，插入完成，否则将节点中间的关键字放入到父节点，剩下左右两部分分裂为父节点的左子树和右子树。

例子：在5阶B树中，节点最多有4个关键字，最少有两个关键字：

插入23，25，39：

此时左子树的关键字已经大于4个了，需要进行分裂：

B树删除：

首先查找B树中需删除的元素,如果该元素在B树中存在，则将该元素在其结点中进行删除；删除该元素后，首先判断该元素是否有左右孩子结点，如果有，则上移孩子结点中的某相近元素(“左孩子最右边的节点”或“右孩子最左边的节点”)到父节点中，然后是移动之后的情况；如果没有，直接删除。

删除叶子节点中的元素：

• 删除后结点中元素数目小于m/2，则需要看其某相邻兄弟结点是否丰满；
• 如果丰满，则向父节点借一个元素，然后相邻节点的第一个或最后一个元素上移到父节点；
• 如果其相邻兄弟都不丰满，即其结点数目等于m/2，则该结点与其相邻的某一兄弟结点进行“合并”成一个结点；

B+树

m阶B+树：

每个节点最多有m个子节点，每个子树对应一个关键字，最多有m个关键字，最少有m/2个关键字。

与B树的不同点：

1.B+树的数据都存储在叶子节点，内部节点不存储数据，只存储索引。所以B+树的查询时间复杂度固定为logn，而B树的查询时间复杂度不固定，与key在树中的位置有关，最好为O(1)。B+树由于内部节点只存储索引，所以每个节点能索引的范围更大，B+树更适合外部存储。

2.每个叶子节点都有相邻叶子结点的指针，所有叶子节点按关键字大小自小而大链接。非常适用于范围查询。

3.父节点中有每一个子节点的第一个关键字。

B+树插入：

当节点元素数量大于m-1时，按中间元素分裂成左右两部分，中间元素分裂到父节点当作索引存储，但是本身中间元素还是在分裂右边部分。

例子：5阶B+树种，节点最少2个元素，最多4个元素。插入5，10，15，20：

插入25，此时元素数量大于4个了，分裂：

接着插入26，30，继续分裂：

参考：

​​https://segmentfault.com/a/1190000020416577​​

​​https://blog.csdn.net/weixin_43156699/article/details/117216784​​

​​https://blog.csdn.net/qq_34515959/article/details/109155630​​

​​https://blog.csdn.net/a519640026/article/details/106940115​​