主定理

Posted 2022-08-18 Debroon

                                                                                      《目录》

• 使用主定理求解递归式
• ? 算例 ?
• 证明主定理

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使用主定理求解递归式

主定理是分治算法分析中非常重要的定理。

如，我们要处理一个 规模为  的问题通过分治，得到  个规模为  的问题，分解子问题和合并子问题的时间是 ：

  

在上面这个式子里，我们得要求  (如果  时，递推无意义)， 是渐进意义上的正数。

 

回顾一下， 和  的含义：

•    个子问题，即  是原问题分为子问题的个数；
•   每个子问题的规模是 ；
•   分治算法共三部分，分治合，而  就是分+合的时间。

      和    ，向下取整和向上取整的细节，并不会影响主定理的推导，具体的数学证明，略。

如果对分治算法不熟悉，建议先看《递推式分析》。

 

而后呢，根据上面的式子我们会得到三种情况：

• 若有实数大于零()，，则 ；
• 若 ，则 ；
• 若有实数大于零()，，且有一个实数小于一()，使得较大的 ，满足 ，这时候则 。

这三种情况看起来很复杂，搞清楚他们之间的关系，快速记忆就简单了。

对于三种情况的每一种，我们将函数  与  比较，俩个函数较大者将决定递归式的解。

• 若函数    更大，如情况1，则解是 ；注意  小于  是渐进意义上的，要差一个因子量级 。
• 若函数  更大，如情况3，则解是 ；注意  大于  是渐进意义上的，要差一个因子量级 ，还要满足 ；
• 若俩个函数相等，如情况2，则乘上一个对数因子，解为 ；
• 上面的三种情况并未覆盖  的所有可能性，情况1、情况2 之间存在间隙， 可能小于  但不是多项式意义上的小于；情况2、情况3 之间也存在间隙， 可能大于  但不是多项式意义上的大于；若函数  在这俩个间隙中，或者是 情况3 中要求的  条件不成立，就不能使用主方法来解决递归式。

 

首先，得明白一个基准函数：。

有了基础函数之后，就可以根据 TA 来判定情形之间的关系。

那我们该如何记忆这个基准函数呢 ？？

原来的函数是：， 为底数，如果化为对数形式也是以  为底()；

原函数是一个多项式， 和  都是常数，算出来肯定也是一个具体的数值。

所以，我们要记这样一个基准多项式(基准函数)：，次方(即  )是取对数的。

接下来，是以上三种情况的判定：

•  是弱于基准的(渐进意义上)，；
•  是等于基准的(渐进意义上)，；
•  是强于基准的(渐进意义上)，。

 

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? 算例 ?

        算例1：  (乐高铺积木)

        分析，，基准函数是 ，因为 ，所以基准函数是 。

        那  又是什么呢 ？？？

        ， 比基准函数  要弱，我们取一个实数() ，即 。

        得到 .

 

        算例2：    (二分查找)

        分析，，基准函数是 ，因为 ，所以基准函数是 。

        那  又是什么呢 ？？？

        ，基准函数也是  ， = 基准函数，再乘上一个 ，即 。

 

         算例3：  (归并排序)

         分析，，基准函数是 ，因为 ，所以基准函数是 。

         那  又是什么呢 ？？？          

         ，基准函数也是 ， = 基准函数，最后 。

 

         算例4：  (Strassen 算法)

         分析，，基准函数是 ，大概是 。

         那  又是什么呢 ？？？          

         ，基准函数是  在这基础上减去 0.1 即俩者相等 ，最后 。

 

         算例5：  (摘自《算法导论》)

         分析，，基准函数是 ，大概是 。

         那  又是什么呢 ？？？   

          ， 比  要强， (取 0.1 依然比  大)， 。

          强的话，再看看是否满足  。

          把  代入：。

          得到 ， ，满足条件，因此 。  

        

 

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证明主定理

          已经知道了基准(函数)怎么使用，可我们还不知道为什么会得到若干个渐进记号，我们会使用递归树来证明。

          假设 ，每一次除以 ，除  次会为 1。

          举个例子， 

          我们想知道的是，。

          从上面的式子看出 ：

•         即基准函数；
•         注重的是 基准函数 和  的强弱关系；
•         是递归树的高度。

            在递归树上证明时，我们写的简单些，直接把结点 f(m) 调用开销画上去。

          

 

•             第一层的代价是：；
•             第二层的代价是：；
•             第三层的代价是：；
•                                                    
•             负一层的代价是：。

            整个递归树高度是 ，总的代价是：。

 

             这些项会造成什么影响 ？

            对于  的影响，我们要分析三种情况：

            总个的表达式：

•             第一种情况：，，我们求的就是这个项 ：。

            思考一下，我们能不能这个式子化为等比数列 ？

            无关的项： 提出来，里面是  。

            ，，。

                     

            得出，。

 

•             第二种情况：，，我们求的就是这个项 ：。

            把  提出来，里面是  。

            ，消掉后  这个求和就是对一求和，那是多少个一呢 ？

            一共  个一，这个结果也等同于 。

 

•             第三种情况：，，我们求对就是这个项：

            这个证明会麻烦一些，因为多了一个条件：。

                     

                                                       

                                                                                     

                                                             

              形成一个  的等比数列，而  在里头保持不变，可以挪出来。

              而这些等比数列最终加起来也不会超过 ，因此   乘的，也是一个常数项，总时间是 。