主定理

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了主定理相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

                                                                                      《目录》


使用主定理求解递归式

主定理是分治算法分析中非常重要的定理。

如,我们要处理一个 规模为  的问题通过分治,得到  个规模为  的问题,分解子问题和合并子问题的时间是 

  

在上面这个式子里,我们得要求  (如果  时,递推无意义), 是渐进意义上的正数。

 

回顾一下, 和  的含义:

  •    个子问题,即  是原问题分为子问题的个数;
  •   每个子问题的规模是 
  •   分治算法共三部分,分治合,而  就是分+合的时间。

      和    ,向下取整和向上取整的细节,并不会影响主定理的推导,具体的数学证明,略。

如果对分治算法不熟悉,建议先看《递推式分析》。

 

而后呢,根据上面的式子我们会得到三种情况:

  • 若有实数大于零(),,则 
  • 若 ,则 
  • 若有实数大于零(),,且有一个实数小于一(),使得较大的 ,满足 ,这时候则 

这三种情况看起来很复杂,搞清楚他们之间的关系,快速记忆就简单了。

对于三种情况的每一种,我们将函数  与  比较,俩个函数较大者将决定递归式的解。

  • 若函数    更大,如情况1,则解是 ;注意  小于  是渐进意义上的,要差一个因子量级 
  • 若函数  更大,如情况3,则解是 ;注意  大于  是渐进意义上的,要差一个因子量级 ,还要满足 
  • 若俩个函数相等,如情况2,则乘上一个对数因子,解为 
  • 上面的三种情况并未覆盖  的所有可能性,情况1、情况2 之间存在间隙, 可能小于  但不是多项式意义上的小于;情况2、情况3 之间也存在间隙, 可能大于  但不是多项式意义上的大于;若函数  在这俩个间隙中,或者是 情况3 中要求的  条件不成立,就不能使用主方法来解决递归式。

 

首先,得明白一个基准函数:

有了基础函数之后,就可以根据 TA 来判定情形之间的关系。

那我们该如何记忆这个基准函数呢 ??

原来的函数是: 为底数,如果化为对数形式也是以  为底();

原函数是一个多项式, 和  都是常数,算出来肯定也是一个具体的数值。

所以,我们要记这样一个基准多项式(基准函数):,次方(即  )是取对数的。

接下来,是以上三种情况的判定:

  •  是弱于基准的(渐进意义上),
  •  是等于基准的(渐进意义上),
  •  是强于基准的(渐进意义上),

 


? 算例 ?

        算例1:  (乐高铺积木)

        分析,,基准函数是 ,因为 ,所以基准函数是 

        那  又是什么呢 ???

         比基准函数  要弱,我们取一个实数() ,即 

        得到 .

 

        算例2:    (二分查找)

        分析,,基准函数是 ,因为 ,所以基准函数是 

        那  又是什么呢 ???

        ,基准函数也是  , = 基准函数,再乘上一个 ,即 

 

         算例3:  (归并排序)

         分析,,基准函数是 ,因为 ,所以基准函数是 

         那  又是什么呢 ???          

         ,基准函数也是  = 基准函数,最后 

 

         算例4:  (Strassen 算法)

         分析,,基准函数是 ,大概是

         那  又是什么呢 ???          

         ,基准函数是  在这基础上减去 0.1 即俩者相等 ,最后 

 

         算例5:  (摘自《算法导论》)

         分析,,基准函数是 ,大概是

         那  又是什么呢 ???   

           比  要强, (取 0.1 依然比  大), 

          强的话,再看看是否满足  。

          把  代入:

          得到 , ,满足条件,因此 。  

        

 


证明主定理

          已经知道了基准(函数)怎么使用,可我们还不知道为什么会得到若干个渐进记号,我们会使用递归树来证明。

          假设 ,每一次除以 ,除  次会为 1。

          举个例子, 

          我们想知道的是,

          从上面的式子看出 :

  •         即基准函数;
  •         注重的是 基准函数 和  的强弱关系;
  •         是递归树的高度。

            在递归树上证明时,我们写的简单些,直接把结点 f(m) 调用开销画上去。

          

 

  •             第一层的代价是:
  •             第二层的代价是:
  •             第三层的代价是:
  •                                                    
  •             负一层的代价是:

            整个递归树高度是 ,总的代价是:

 

             这些项会造成什么影响 ?

            对于  的影响,我们要分析三种情况:

            总个的表达式:

  •             第一种情况:,我们求的就是这个项 :

            思考一下,我们能不能这个式子化为等比数列 ?

            无关的项: 提出来,里面是 

            

                     

            得出,

 

  •             第二种情况:,我们求的就是这个项 :

            把  提出来,里面是  

            ,消掉后  这个求和就是对一求和,那是多少个一呢 ?

            一共  个一,这个结果也等同于 

 

  •             第三种情况:,我们求对就是这个项:

            这个证明会麻烦一些,因为多了一个条件:

                     

                                                       

                                                                                     

                                                             

              形成一个  的等比数列,而  在里头保持不变,可以挪出来。

              而这些等比数列最终加起来也不会超过 ,因此   乘的,也是一个常数项,总时间是

              

              

                                                           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

以上是关于主定理的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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