D. Not Quite Lee（裴蜀定理gcdlowbit）

Posted 2022-12-04 Lnn.

前言：思维+数论+证明给我干傻了。


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  题目类型：数论、裴蜀定理、gcd、lowbit
  解析：引用一下大佬Arctic_Clam的图。设选定的子序列数组为c。
  设式子左边部分为S，可以发现式子右边的xi*ci部分可以用到裴蜀定理。就是说xi * ci的和是gcd(c1…ck)的倍数。
  设g = gcd(c1…ck)。若上式有解，则g|S（S也应该是g的倍数）。


  注意S部分，已知g | ci，那是否有g | (ci/2)呢，有的话则直接good。
  有一个简单的结论：如果x | y且x是奇数，那么x | (y/2) ；若x是偶数，则(x/2) | (y/2)。
  所以g为奇数的时候，必定有g | (ci/2)；而g为奇数，c中必有奇数，所以只要子序列有奇数，那就good。


  沿用上面的结果，讨论偶数部分何时不good：
  如果说g不能整除ci/2，用通俗的语言来说，就是ci的含2量不够高。
  这里设lowbit(x)为x的二进制最低位代表的数字，例如lowbit(6) = 2。那么一定有lowbit(g) == min( lowbit(ci) )。
  如果lowbit(ci) > lowbit(g)那么g|ci（ci的含2量高于g，所以除以2后还是g的倍数） ；如果lowbit(ci) = lowbit(g) ，那ci不能够单独处理，不过可以找两个相同lowbit的数加起来。推广一下就是c中lowbit(ci) = lowbit(g)的数需要偶数个（奇数个无论怎样组合都会有至少一个最低位等于g的），lowbit(ci) > lowbit(g)的随便选。

  code：

#include <bits\\stdc++.h>
#define Lnnnb return 0;
#define ll long long
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a));
#define mod 1000000007
using namespace std;
void init();
ll n,num[35],a[202020],two[202020];

void scan()
    cin >> n ;
    for(ll i = 1 ; i <= n ; ++i)
        cin >> a[i] ;


void solve()
    ll ji = 0 , ans = 0;
    for(ll i = 1 ; i <= n ; ++i)
        if(a[i]%2 == 1)
            ji++;
        else 
            ll lowb = 0 , x = a[i];
            while(x%2 == 0)
                ++lowb;
                x /= 2;
            
            num[lowb]++;
        
    
    ans = (ans + (two[ji]-1) * two[n-ji]%mod) %mod;          ///算上奇数的
    ll res = n - ji;
    for(ll i = 1 ; i <= 30 ; ++i)
        res -= num[i];
        ///第i位为最低位，并且一定要拿
        if(num[i])ans = (ans + (two[num[i]-1]-1) * two[res] %mod) %mod;
    
    cout << ans << endl ;


int main()
    two[0] = 1;
    for(ll i = 1 ; i <= 200000 + 20 ; ++i)
        two[i] = two[i-1]*2 %mod;
    ios::sync_with_stdio(false);
    ///cin.tie(0);
    ///cout.tie(0);
    ll t = 1;
    ///cin >> t ;
    while(t--)
        scan();
        solve();
        init();
    
    Lnnnb


void init()