[硫化铂]卿且去

Posted 2022-02-17 StaroForgin

卿且去

题解

首先有结论，在$(\lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,n]$中的所有数都被选择肯定是一组最优解。
我们可以考虑把原先的数分成$[1,\lfloor \frac{n}{2}\rfloor ]$与$(\lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,n]$两部分，如果将倍数关系看成连边的话，可以发现，在第二部分的子图中不存在任何边，且第一部分中任何一个点都向着后部分至少一个点连边。
在这种情况下，我们的选择数相当于从图中选出一个独立集。
显然，对于不存在任何边的第二部分，肯定是一组合法解，我们现在要说明为什么它是最优解。
如果我们在第一部分中选择了集合$S=a_1,a_2,...,a_m$，那么第二部分中至少有一个等大的集合不能选择。
因为$\forall x\in [1,\lfloor \frac{n}{2}\rfloor ],\exists k\in N^{+},x\times 2^k\in (\lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,n]$，所以集合中每个$a_i$肯定在第二部分中有一个点$b_i=2^k\times a_i$。
由于$S$中的任意两个数都不呈倍数关系，所以这些$b_i$都两两不同，也就是说我们在第二部分中至少有一个大小为$m$的集合不能选择。
所以，我们在第一部分中一个都不选，第二部分全选，肯定是一组最优解。

考虑如何通过上面的结论计算答案，我们可以尝试计算当每个质数出现在集合中会使得多少个在$(\lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,n]$中的数可以被选择。
由于不同的两个质数可以使得同一个数被选择，所以显然需要容斥，记$P$为质数集，$\pi (i)$表示$i$的不同质因子个数。
$$Ans=\sum _{i=1}^n-\mu (i)(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor -\lfloor \frac{n}{2i}\rfloor )2^{|P|-\pi (i)}=-2^{|P|}\sum (\lfloor \frac{n}{i}\rfloor -\lfloor \frac{n}{2i}\rfloor )\mu (i)2^{-\pi (i)}$$对于上式，我们发现$(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor -\lfloor \frac{n}{2i}\rfloor )$是可以整除分块的，而$f(i)=\mu (i)2^{-\pi (i)}$又是一个积性函数。
于是我们很容易想到通过$min25$等方法去计算每个块里的$f(i)$之和。
由于像$min25$筛这种，他会将每个${\sum }_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }f(i)$的值都算出来，恰好契合我们的整除分块，我们可以在$O\left(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\ln n}\right)$的时间中将它们都算出，所以是可以采取这种方法通过的。

时间复杂度$O\left(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\ln n}\right)$。
建议采用递推的$min25$筛，由于需要算多点，递归版的需要记忆化，不太好搞，常数也大。
不过 偶耶 好像也有不用多点求值，只用算单点的方法。

源码

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize("Ofast")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 400005
#define MAXM 50000005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL; 
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mo=998244353;
const int mod=1e5+3;
const int inv2=499122177;
const int fiv2=499122176;
const int jzm=2333;
const int zero=2000;
const int M=100000;
const int orG=3,ivG=332748118;
const long double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-12;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x)return x<0?-x:x;
template<typename _T>
void read(_T &x)
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0')if(s=='-')f[硫化铂]传染

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