DP牡牛和牝牛

Posted 2022-01-30 行码棋

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题目描述

约翰要带 N 只牛去参加集会里的展示活动，这些牛可以是牡牛，也可以是牝牛。牛们要站成一排，但是牡牛是好斗的，为了避免牡牛闹出乱子，约翰决定任意两只牡牛之间至少要有 K 只牝牛。
请计算一共有多少种排队的方法，所有牡牛可以看成是相同的，所有牝牛也一样，答案对 5000011 取模。

简化一下题目，其实就是

N头牛，要求两个公牛之间至少有K头母牛，求总的排列方案

题目思路

$f[i]$代表第i个位置为公牛的总的方案数，既然第i个位置已经放置公牛了，那么前面的k个位置不能放公牛，那么求$f[i]$的时候，就要求与第i个位置相隔k个位置的总的方案数，也就是前面的与i位置相隔大于等于k的位置放置公牛还是母牛是任意的，我们求这些的方案数，那么就需要求$[1,i-k-1]$的求和
我们用$s[i]$表示$f[i]$的前缀和

那么
$$\begin{gathered} f[i]=s[max(i-k-1,0)] \\ s[i]=s[i-1]+f[i] \end{gathered}$$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 5000011,N = 1e5+5;

int f[N],s[N];

int main()

	int n,k;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	f[0] = s[0] = 1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	
		f[i] = s[max(i-k-1,0)];
		s[i] = (s[i-1] + f[i])%mod;
	
	printf("%d\\n",s[n]);
	return 0;
  

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