有界的发散数列，一定会存在两个极限值不同的收敛子列，该怎么证明。

Posted 2023-05-07

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参考技术A 这个和Bolzano-Weierstrass定理（又称列紧性定理或致密性定理）的证法几乎一样，只是多了一个数列发散的条件你随便找本数学分析教科书就能看到这个定理的证明 参考技术B 这个和Bolzano-Weierstrass定理（又称列紧性定理或致密性定理）的证法几乎一样，只是多了一个数列发散的条件你随便找本数学分析教科书就能看到Bolzano-Weierstrass定理的证明

Bolzano-Weierstrass 定理

这个定理是从吴崇试老师的数学物理方法课里看到的，表述如下：

有界的无穷（复数）序列至少有一个聚点。

序列的聚点定义为

给定序列 ${z_n}$，若存在复数 $z$，对于任意给定的 $varepsilon > 0$ 恒有无穷多个 $z_n$ 满足 $| z- z_n| < varepsilon$，则称 $z$ 为 ${z_n}$ 的一个聚点。

${z_n}$ 有聚点等价于 ${z_n}$ 有收敛子列。我们试图构造出 ${z_n}$ 的一个收敛子列。

先证明有界实数列满足 B-W 定理，即

有界实数列必有收敛子列。

证明：设序列 ${a_n}$ 都落在 $[a,b]$ 中，将 $[a,b]$ 等分成 $[a, (a+b)/2]$ 和 $[(a+b)/2, b]$，其中必有一个区间含有无穷多项 $a_n$，记此区间为 $I_1$，在 $I_1$ 中选择一项 $a_{i_1}$；再将 $I_1$ 等分成两份，取其中含有无穷多项 $a_n$ 者记做 $I_2$，在 $I_2$ 中选取一项 $a_{i_2}$ 使得 $i_2 > i_1$，如此进行下去。令 $I_n = [ l_n, r_n]$ ，则 ${l_n}$ 递增有界，${r_n}$ 递减有界，即二者都收敛；令 $l = lim_{n oinfty} l_n$，$r = lim_{n oinfty} r_n$；又 $lim_{n oinfty} r_n - l_n = lim_{n oinfty} (b-a)/2^n = 0 $，因而 $x = y$。又 $a_{i_n} in [l_n, r_n]$ ，由夹逼原理有 $lim_{n oinfty} a_{i_n} = x$，于是 ${a_{i_n}}$ 收敛。证毕。

再证明欧氏空间 $mathbb{R}^p$ 中的序列满足 B-W 定理，即

$mathbb{R}^p$ 中的有界序列必有收敛子列。

证明：对 $p$ 用归纳法。我们已经证明了 $p=1$ 时 B-W 定理成立。设 $p= k$ 时定理成立，给定 $mathbb{R}^{k+1}$ 中的有界序列 ${mathbf{a}_n}$，令 $mathbf{a}_n=(mathbf{x}_n, y_n)$，可以证明 ${mathbf{x}_n}$ 在 $mathbb{R}^k$ 中有界，${y_n}$ 在 $mathbb{R}$ 中有界。
取 ${mathbf{x}_n}$ 的一个收敛子列 ${mathbf{x}_{n_i}}$，记其极限为 $mathbf{x}$，再取 ${y_{n_i}}$ 的一个收敛子列 ${y_{n_{i_j}}}$，记其极限为 $y$，我们有 ${ mathbf{x}_{n_{i_j}} }$ 收敛于 $mathbf{x}$，于是 ${mathbf{a}_{n_{i_j}}}$ 收敛于 $(mathbf{x},y)$ 。证毕。

$mathbb{R}^2$ 与 $mathbb{C}$ 同构，所以原命题成立。