裴蜀定理CF1055C Lucky Days

Posted 2022-12-10 行码棋

Lucky Days

较好观感

给定 $l_a,r_a,t_a,l_b,r_b,t_b$，对于所有的非负整数 $k$，将区间 $[l_a+k{t}_a,r_a+k{t}_a]$ 打上标记 $1$，将区间 $[l_b+k{t}_b,r_b+k{t}_b]$ 打上标记 $2$。求出最长的连续区间使得该区间中的所有位置都被同时打上的 $1,2$ 标记。

样例一

0 2 5
1 3 5

2

样例二

0 1 3
2 3 6

1

---

思路

题目要求两个区间的重合度最大的长度。

首先第一个点我们要想到：要想使两个区间的重合度最高，需要让两个区间尽可能逼近。最优的情况就是两个区间的左端点尽可能相等，这样重合度是最大的。

即使 $la+x\ast ta=lb+y\ast tb$

将式子进行移项得 $x\ast ta-y\ast tb=lb-la$ （此时我们假设$la<lb$，代码中已做相关的操作，这样只是为了方便）

我们需要看式子是否有解，式子结构和裴蜀定理比较像，拿出来进行对比。

裴蜀定理 ： 存在整数 $x,y$，满足$a\ast x+b\ast y=gcd(a,b)$

该式子进行$y$符号变为正，表示$y$是整数，则 $x\ast ta+y\ast tb=lb-la$

我们令$d=gcd(ta,tb)$

那么可以发现如果$d|(lb-la)$，则该式子有解，左端点可以重合。

---

但是如果左端点不能重合怎么办，尽可能逼近就行。

此时别忘了式子右边的$lb-la$代表的是什么，是 区间a左端点移动的距离，那么因为$x\ast ta+y\ast tb=d$是存在解的，则区间a移动的距离可进一步变为 $d$ 。

注意：我说的区间a可以移动，是指的一定存在某种状态，上下两个人有两个区间的距离发生了变化，叫为区间移动更容易理解。如

$ta=3,[1,4]->[4,7]->[7,10]->[10,13]$

$tb=4,[3,5]->[7,9]->[11,13]$

$[1,4][3,5]$左端点相差$2$，这是一种区间状态，通过移动，会出现另一种区间状态$[10,13][11,13]$左端点相差$1$。移动了一步（$d=gcd(3,4)=1$）

左端点不重合就尽可能逼近。

有两种状态可能是合适的。

$dis$代表a区间左端点与b区间左端点相差的最小距离（a区间左端点我认为小于等于b区间左端点），即$dis=(lb-la)\%d$

• 区间a左端点移动到和区间b左端点相差$(lb-la)\%d$，可能是距离最近的

  • $min(rb-lb+1,ra-la+1-dis)$

• 然后是上面的情况在往后移一步，即区间a左端点超过区间b左端点$d-(lb-la)$

  • $dis=d-dis$
  • $min(ra-la+1,rb-lb+1-dis)$

两个计算请画图领悟计算方法。

计算：左端点重合的情况可以合并在左端点能合并的代码里面，即左端点合并是左端点不合并的特殊情况。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
using pii = pair<int, int>;
const int N = 1e5 + 5, mod = 1e9 + 7;

// [l[a] + k * ta, r[a] + k * ta]
// 3 [1, 4] [4, 7] [7, 10] [10, 13] [13, 16] ---
// 4 [3, 5] [7, 9] [11, 13]         [15, 17] ---
// 起点尽可能相同
// 裴蜀定理：存在x,y 使 ax + by = gcd(a, b)
// la + x * ta = lb + y * tb
// x * ta - y * tb = lb - la
// gcd(ta, tb) | (lb - la)有解
// d = gcd(ta, tb) 看成相对移动的距离
// la -> la + d -> la + k * d    lb
// 差 = lb - la 
// dis = (lb - la) % d

void solve()

	int la, ra, ta, lb, rb, tb;
	cin >> la >> ra >> ta >> lb >> rb >> tb;
	if(la > lb)
	
		swap(la, lb);
		swap(ra, rb);
		swap(ta, tb);
	
	int d = __gcd(ta, tb);
	int dis = (lb - la) % d; // 左端点的差
	int ans = 0;
	ans = max(ans, min(rb - lb + 1, ra - la + 1 - dis));
	dis = d - dis; // 向右移动一步
	ans = max(ans, min(ra - la + 1, rb - lb + 1 - dis));
	cout << ans << "\\n";

int main()

	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);

	int t;
	// cin >> t;以上是关于裴蜀定理CF1055C Lucky Days的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
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 cf1011 E. Border