卡尔曼滤波详解

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卡尔曼滤波

概念:

滤波: 信号x 权值 + 噪声x权值
卡尔曼滤波: 最优估计值x 权值 + 观测值 x 权值
卡尔曼滤波用上一次的最优结果预测当前值,同时使用观测值修正当前值,得到最优的结果。
适用: 线性高斯系统
线性: 不是线性用EKF 即不是线性(叠加性与齐次性)化为线性再进行卡尔曼滤波
高斯: 噪声满足正态分布

基础表达式:

状态方程: xk = A *xk-1 + B *uk + ωk;
xk-1 : 代表上一个时刻状态;
uk : 输入;
wk : 过程噪声;(真实物理系统)
A: 状态转移矩阵;
B: 控制矩阵;
观测方程: yk = C *xk + νk;

xk: 状态量
vk: 观测噪声与观测传感器有关;
状态方程与观测方程联系:

参数分析

调参: Qk(过程噪声标准差)、Rk(观测噪声标准差)
wkvk都应该服从高斯分布-高斯白噪声;
Rk: 传感器测量值比如为 1000 ± δ 则 vk为δ;δ方差为Rk 则vk方差为Rk vk∈N(0:Rk的标准差)
Qk: 环境过程噪声比如风、摩擦 直接服从正态分布 wk ∈ N(0;Qk的标准差);
估计值(状态)值: 服从正态分布:
一维为:xk^-
二维为:

修正值(卡尔曼滤波输出)后验估计值xk-1^
基于修正值——到 先验估计值xk^- + 观测值yk=xk(两个高斯分布融合)得到最优估计值xk^

公式计算:

预测:

1.先验估计

xt^- = F xt-1^ + B ut-1 (F状态转移矩阵 B控制量)**

2.先验估计协方差
Pt- = F Pt-1 F转置 + Q(wk过程噪声的协方差);**

外部测量:

3.观测 zt = H *xt + v(观测噪声);

更新:

4.修正估计(卡尔曼滤波最后结果)
xt^ = xt^- + Kt (Zt - Hxt^-); xt^先验估计值 Kt卡尔曼增益
Zt为观测值 H 为矩阵;

5.更新卡尔曼增益(与Q和R都有关系)

Kt = (Pt- * H转置) / ( H * Pt- *H转置 + R);(R为观测噪声的方差)

6.更新后验估计协方差(修正估计协方差、利用观测)
Pt = (I - Kt*H)Pt-;

卡尔曼滤波器超参数调节Q 和 R

K = (Pt-1 + Q) / (Pt-1 + Q + R)
如果应该更多信任观测值(传感器精度高)则 R 越小 K越大;
如果应该更多信任先验估计即过程噪声无限小则调整 R越大 Q增大 K减小;
Q过程噪声方差: 理想情况 无过程噪声 Q无穷小;
R观测噪声方差: 传感器精度高 R小;

卡尔曼滤波器参数调节P0 和 X0^

P0:Pt初值习惯取小,方便收敛(Pt一般为1)不能为0
X0:xt^最开始取0;
一维无控制滤波 :F =1 ; H =1 ;

以上是关于卡尔曼滤波详解的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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