现代信号处理 06 - 卡尔曼滤波
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了现代信号处理 06 - 卡尔曼滤波相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
卡尔曼滤波
文章目录
1. 问题引入
我们研究的问题一般都是从观测数据入手。我们观测的对象是一组随机变量，我们需要用这组随机变量与估计另外一个随机变量
O b s e r v a t i o n : ( Z 1 , . . . , Z n ) − > Y Observation:(Z_1,...,Z_n) -> Y Observation:(Z1,...,Zn)−>Y
我们以前学习到的估计方法，都是一些直接的方法。我们试图构造一个估计，直接通过我们的观测数据，去逼近我们的随机变量。我们通常会构造一个滤波器，输入就是我们的观测数据，输出就是我们得到的近似值。而维纳滤波器就是最优的线性估计
g ( Z 1 , . . , Z n ) = > Y → H → Y ^ Direct Method g(Z_1,..,Z_n)=> Y \\rightarrow \\boxed{H} \\rightarrow \\hat Y \\text{ Direct Method} g(Z1,..,Zn)=>Y→H→Y^ Direct Method
但是使用这种估计的思路是有一些问题的。因为这是一种黑箱的思想。一般来说，我们估计的对象对观测数据是有影响的，但是我们的观测数据是怎么来的，我们并不关心，我们把观测数据和估计变量之间的关系当做黑箱，我们只关心输入和输出。
我们是采用这样的思路在进行信号处理
Y → H 1 → Z ↖ H 2 ↙ \\begin{matrix} Y & \\rightarrow & \\boxed{H_1} & \\rightarrow & Z \\\\ \\\\ & \\nwarrow & \\boxed{H_2}& \\swarrow & \\end{matrix} Y→↖H1H2→↙Z
本来有一个随机变量Y，会通过某种规律产生观测数据Z。这是一个系统，但是我们并不需要关心这个系统是怎么样的。我们的处理方法是这样的，我们根据观测数据，重新构造了一个系统H2，然后把输入和输出联系在了一起。
这种方法的缺陷在于，通常我们研究某个问题的时候是有先验知识的，比如物理规律，化学反应等等。我们的估计方法直接把输入和输出关联在了一起，但是并不需要使用先验知识，只是通过统计学规律实现的。
但是现在，我们希望从观测数据出发，了解引起观测数据变化的系统到底是怎么样子的，我们希望能够使用我们的先验知识做点什么。
2. Kalman Filter
2.1 模型建立–状态空间
我们现在希望从黑箱入手，找到具体的系统结构，不仅仅满足于把输入和输出关系当做着眼点，把变量Y对观测数据Z的影响当做黑箱。我们想要了解这个具体的影响是什么，我们要对黑箱进行建模。
我们要建立的模型就是状态空间模型。我们在学习信号与系统的时候，其实就有状态空间的概念了。状态空间和传递函数都是对系统描述的方法。
状态空间和传递函数是有本质区别的。传递函数关注的是输入和输出的关系，对系统内部结构视而不见，只是把系统看成了黑箱。状态空间关注的是系统内部的结构。状态空间的建立能够用上我们的先验知识，不然统计信号处理就与科学和工程脱节了。
建立状态空间模型涉及到两个方程。第一个方程叫做状态方程，第二个方程叫做观测方程。
State Space Model
{
Z
n
+
1
=
f
(
Z
n
,
V
n
)
State Equation
Y
n
=
g
(
Z
n
,
W
n
)
Observation Equation
\\text{State Space Model} \\\\ \\begin{cases} Z_{n+1} = f(Z_n,V_n) & \\text{State Equation} \\\\ Y_n = g(Z_n,W_n) & \\text{Observation Equation} \\end{cases}
State Space Model{Zn+1=f(Zn,Vn)Yn=g(Zn,Wn)State EquationObservation Equation
其中Vn是状态噪声，Wn是观测噪声
{
Z
n
+
1
=
f
(
Z
n
,
V
n
,
I
n
)
State Equation
Y
n
=
g
(
Z
n
,
W
n
)
Observation Equation
\\begin{cases} Z_{n+1} = f(Z_n,V_n,I_n) & \\text{State Equation} \\\\ Y_n = g(Z_n,W_n) & \\text{Observation Equation} \\end{cases}
{Zn+1=f(Zn,Vn,In)Yn=g(Zn,Wn)State EquationObservation Equation
一般来说，状态方程会有一个输入变量。但是很多时候会把输入变量给忽略。我们认为决定系统输出的关键，也许并不在输入上，而是状态Z。这是系统内部的属性。
状态Z具有两个特性
- 真正的决定了系统的性质，状态有自己的运行发展规律，随着时间变化，状态也发生变化，影响系统的发生机制。状态有自身的运行发展规律。状态的演化决定了系统内部的运行机制。
- 状态往往不能直接被观测到
状态从外部看不到，但是又很重要，我们怎么得到状态呢？我们有一个观测，观测代表一个过程，可以通过状态得到我们的观测。这个过程就是窥探系统内部结构的窗口，就能够获得关于系统内部的某种认识。
状态是不可观测的，但是又说状态能够被看到，我们看到的是什么?
我们实际上是在对系统进行建模，我们对系统进行建模的时候，就能够用上我们的先验知识（自然界基本运行规律，专业知识等)。但是，我们在建模的同时，尽管状态是按照模型在演化，但是我们不能直接观测到这个状态。我们观测到的仅仅是一个侧面
现在我们对信号处理的任务就改变了，我们希望能够通过得到的观测数据，找到系统的状态变化。一旦系统状态变化找到了，我们就把系统内部变化的规律给找到了。
{ Y 1 , . . . , Y n } → { Z 1 , . . . , Z n } \\{Y_1,...,Y_n\\} \\rightarrow \\{Z_1,...,Z_n \\} {Y1,...,Yn}→{Z1,...,Zn}
一般来说，状态空间模型中是有噪声的，我们在做信号处理的时候，一方面要注重，通过观测数据进行逆运算，得到状态；另一方面也要克服噪声的影响
现在，我们想对状态空间模型进行简化。开始的时候，我们建立的状态和观测方程是个通常的非线性模型。现在我们建立一个线性的模型，简化问题。
{
Z
n
+
1
=
F
n
Z
n
+
V
n
Y
n
=
H
n
Z
n
+
W
n
\\begin{cases} Z_{n+1} = F_n Z_n +V_n\\\\ Y_n = H_n Z_n + W_n \\end{cases}
{Zn+1=FnZn+VnYn=HnZn+Wn
需要注意一点，在这个线性模型中，系统参数F和H是时变的，我们允许系统参数随着时间变化。这就是意味着，我们允许我们的系统是非平稳的。
我们在维纳滤波，莱文森迭代，前向后向预测的时候，都需要平稳性的条件。这里的非平稳性，能够让模型的应用更加广泛。
现在我们对噪声进行假设。我们假设噪声的均值为0，并且噪声是白噪声。而且状态噪声和观测噪声之间没有相关性。
{
Z
n
+
1
=
F
n
Z
n
+
V
n
Y
n
=
H
n
Z
n
+
W
n
\\begin{cases} Z_{n+1} = F_n Z_n +V_n\\\\ Y_n = H_n Z_n + W_n \\end{cases}
{Zn+1=FnZn+VnYn=HnZn+Wn
E ( V n ) = E ( W n ) = 0 E ( V n ∗ W n T ) = 0 E ( V n V m T ) = Q n δ m n E ( W n W m T ) = R n δ m n E(V_n) = E(W_n) = 0 \\quad E(V_n*W_n^T) = 0 \\\\ E(V_n V_m^T) = Q_n \\delta_{mn} \\quad E(W_n W_m^T) = R_n \\delta_{mn} E(以上是关于现代信号处理 06 - 卡尔曼滤波的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章