2021牛客暑期多校训练营3-E.Math
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了2021牛客暑期多校训练营3-E.Math相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
传送门
不算严谨的证明，只是一点个人理解。
会签到题就算成功。
l
e
m
m
a
:
lemma:
lemma: [1988 IMO]
a
a
a和
b
b
b是正整数, 且
a
b
+
1
∣
a
2
+
b
2
ab+1|a^2+b^2
ab+1∣a2+b2，则
a
2
+
b
2
a
b
+
1
\\fraca^2+b^2ab+1
ab+1a2+b2为完全平方数.
l
e
m
m
a
lemma
lemma的证明可以自行百度。
我们设
a
2
+
b
2
=
k
2
(
a
b
+
1
)
a^2+b^2=k^2(ab+1)
a2+b2=k2(ab+1)
则有
a
2
−
b
k
2
a
+
b
2
−
k
2
=
0
a^2-bk^2a+b^2-k^2=0
a2−bk2a+b2−k2=0，设
a
a
a为主元
得到
a
=
k
2
b
±
k
4
b
2
−
4
(
b
2
−
k
2
)
2
a=\\frack^2b±\\sqrtk^4b^2-4(b^2-k^2)2
a=2k2b±k4b2−4(b2−k2)
要使得
a
a
a为整数，必有
Δ
=
k
4
b
2
−
4
(
b
2
−
k
2
)
Δ=k^4b^2-4(b^2-k^2)
Δ=k4b2−4(b2−k2)为完全平方数。显然
k
2
b
k^2b
k2b与
k
4
b
2
−
4
(
b
2
−
k
2
)
\\sqrtk^4b^2-4(b^2-k^2)
k4b2−4(b2−k2)同奇偶，则只要保证
Δ
Δ
Δ为完全平方数时
a
a
a就为整数。
1
)
1)
1)若
b
=
k
b=k
b=k，要使得
a
>
0
a>0
a>0，则只能有
a
=
k
2
b
+
k
4
b
2
−
4
(
b
2
−
k
2
)
2
=
k
3
a=\\frack^2b+\\sqrtk^4b^2-4(b^2-k^2)2=k^3
a=2k2b+k4b2−4(b2−k2)=k3,此时得到第一组解
k
,
k
3
k,k^3
k,k3
2
)
2)
2)若
b
>
k
b>k
b>k，
则对任意的对称根
b
0
b_0
b0，都存在两个解
a
1
=
k
2
b
−
k
4
b
2
−
4
(
b
2
−
k
2
)
2
，
a
2
=
k
2
b
+
k
4
b
2
−
4
(
b
2
−
k
2
)
2
a_1=\\frack^2b-\\sqrtk^4b^2-4(b^2-k^2)2，a_2=\\frack^2b+\\sqrtk^4b^2-4(b^2-k^2)2
a1=2k2b−k4b2−4(b2−k2)，a2=2k2b+k4b2−4(b2−k2)。由韦达定理易得
a
1
+
a
2
=
k
2
b
0
a_1+a_2=k^2b_0
a1+a2=k2b0，即
a
1
=
k
2
b
0
−
a
2
a_1=k^2b_0-a_2
a1=k2b0−a2，且有
a
1
<
b
0
<
a
2
a_1<b_0<a_2
a1<b0<