2021牛客暑期多校训练营3-E.Math

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不算严谨的证明,只是一点个人理解。
会签到题就算成功。

l e m m a : lemma: lemma: [1988 IMO] a a a b b b是正整数, 且 a b + 1 ∣ a 2 + b 2 ab+1|a^2+b^2 ab+1a2+b2,则 a 2 + b 2 a b + 1 \\frac{a^2+b^2}{ab+1} ab+1a2+b2为完全平方数.
l e m m a lemma lemma的证明可以自行百度。

我们设 a 2 + b 2 = k 2 ( a b + 1 ) a^2+b^2=k^2(ab+1) a2+b2=k2(ab+1)
则有 a 2 − b k 2 a + b 2 − k 2 = 0 a^2-bk^2a+b^2-k^2=0 a2bk2a+b2k2=0,设 a a a为主元
得到 a = k 2 b ± k 4 b 2 − 4 ( b 2 − k 2 ) 2 a=\\frac{k^2b±\\sqrt{k^4b^2-4(b^2-k^2)}}{2} a=2k2b±k4b24(b2k2)
要使得 a a a为整数,必有 Δ = k 4 b 2 − 4 ( b 2 − k 2 ) Δ=k^4b^2-4(b^2-k^2) Δ=k4b24(b2k2)为完全平方数。显然 k 2 b k^2b k2b k 4 b 2 − 4 ( b 2 − k 2 ) \\sqrt{k^4b^2-4(b^2-k^2)} k4b24(b2k2) 同奇偶,则只要保证 Δ Δ Δ为完全平方数时 a a a就为整数。
1 ) 1) 1) b = k b=k b=k,要使得 a > 0 a>0 a>0,则只能有 a = k 2 b + k 4 b 2 − 4 ( b 2 − k 2 ) 2 = k 3 a=\\frac{k^2b+\\sqrt{k^4b^2-4(b^2-k^2)}}{2}=k^3 a=2k2b+k4b24(b2k2) =k3,此时得到第一组解 k , k 3 {k,k^3} k,k3
2 ) 2) 2) b > k b>k b>k
则对任意的对称根 b 0 b_0 b0,都存在两个解 a 1 = k 2 b − k 4 b 2 − 4 ( b 2 − k 2 ) 2 , a 2 = k 2 b + k 4 b 2 − 4 ( b 2 − k 2 ) 2 a_1=\\frac{k^2b-\\sqrt{k^4b^2-4(b^2-k^2)}}{2},a_2=\\frac{k^2b+\\sqrt{k^4b^2-4(b^2-k^2)}}{2} a1=2k2bk4b24(b2k2) a2=2k2b+k4b24(b2k2) 。由韦达定理易得 a 1 + a 2 = k 2 b 0 a_1+a_2=k^2b_0 a1+a2=k2b0,即 a 1 = k 2 b 0 − a 2 a_1=k^2b_0-a_2 a1=k2b0a2,且有 a 1 < b 0 < a 2 a_1<b_0<a_2 a1<b0以上是关于2021牛客暑期多校训练营3-E.Math的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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