Python Akima 插值法教程 | 关键原理和实践

Posted 2022-07-02 叶庭云

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一、Akima 介绍

测量数据的内插已有各种方法，如线性内插、多项式内插、样条函数插值等。但这里的 Akima 插值法具有独特的优点。

• 线性内插只顾及其附近两点的影响；
• 多项式内插时，低阶多项式由于参数较少，内插精度很低，而使用高阶多项式又会使解不稳定，出现 “龙格” 现象，即内插函数在插值点与实际数据符合得很好，而在插值点外出现较大的偏差；
• 因此研究者又在多项式的基础上发展了分片多项式，即样条函数。样条函数既保持了多项式运算简单的特点，又避免了多项式阶数较高时数值不稳定的缺点，因而得到了广泛的应用。但在样条函数插值中，确定任何一个小区间上的多项式，都要考虑所有数据点对它的影响。这不仅扩大了误差传播的范围，还增加了不少工作量。有时其实只用内插点附近的几个数据点作为控制点来内插。

Akima 插值法和三次样条函数一样考虑了要素导数值的效应，因而得到的整个插值曲线是光滑的。三次样条函数插值法具有最小模、最佳最优逼近和收敛的特性，而 Aikma 插值法所得曲线比样条函数插值曲线更光顺，更自然。两者的共同缺点是在强跃层处会出现凸起现象。在这种情况下，可用线性插值或优选三点抛物线插值取代它们的结果。Akima 插值法的另一个优点是：在工程应用中通常需要将观测得到的一系列数据点内插成光滑的曲线，而当计算或测量的数据很大时，不可能也不必要等数据点全部提供后再内插，可利用 Akima 插值法边提供数据点边进行内插。

Akima 插值法详细的数学推导、理论证明、应用，感兴趣的话可以参考原始论文࿱