n%i之和

Posted 2022-04-13 ACdreamers

题目：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1168

 

 

题意：给定一个n，注意这里n小于10^12，求

 

分析：早些时候就做过一道题，在这里：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8809517

由于当时这题数据小，直接计算步长更方便，但是对于本题由于10^12就不合适了，那么我们就采用第二种方法，现

在我就分别简略说说这两种方法，其实大体思路差不多，只是处理不一样。

 

首先是不可能直接枚举的，那么我们先把写成，所以问题变为求：

 

由于在一定范围内是保持不变的，所以我们接下来可以把时间复杂度降到

 

现在我们简略模拟一下：比如n=30，那么我们可以划分等价类：

 

 

可以看出，我们第一个和最后一个组合，第二个和倒数第二个组合，等等，如此进行下去，注意如果是奇数项，中间的那个只被加一次，这样我们只需要枚举到就行了。这个方法很好，其实还有一个相对还算可以方法，那么就是

记录每个等价类的首元素和尾元素，每次跳一段长度，这样对于10^9数据完全没有问题。

 

本题由于数据很大，所以用Java大数：

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;
import java.math.*;

public class Main

	   public static BigInteger Solve(long n)
	   
		   BigInteger ans=BigInteger.ZERO;
		   long i,t=(long) Math.sqrt(n*1.0);
		   for(i=1L;i<=t;i++)
		   
			   BigInteger a=BigInteger.valueOf(n/i+n/(i+1)+1); 
			   BigInteger b=BigInteger.valueOf(n/i-n/(i+1));
			   BigInteger temp=BigInteger.ZERO;
			   if(i!=(n/i))
			       temp= (a.multiply(b)).divide(BigInteger.valueOf(2));
			   BigInteger c=BigInteger.valueOf(n/i);
			   BigInteger ret=c.add(temp);
			   ret=ret.multiply(BigInteger.valueOf(i));
			   ans=ans.add(ret);
		   
		   return ans;
	   
	
	   public static void main(String[] args)
	   
		      Scanner cin = new Scanner(System.in);
		      while(cin.hasNextLong())
		      
		    	   long n=cin.nextLong();
		    	   BigInteger x=BigInteger.valueOf(n);
		    	   System.out.println((x.multiply(x)).subtract(Solve(n)));