[硫化铂]签到题

Posted 2022-02-28 StaroForgin

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了[硫化铂]签到题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

签到题

题目描述

题解

~~我连签到都签不了…~~

首先如果只看原题面的话很容易联想到最近做的最小割树的题，显然可以建出一棵最小割树出来，但那样是铁定会 $T$ 飞的，我们需要继续观察一下此题的性质。
这道题最关键的一个点是所有点的度数 $\\leqslant 3$ ，这也就说明我们的任意两个点间的最大流都不会超过 $3$ 。
不超过 $3$ 也就意味着我们两个点间的最大流只有 $0, 1, 2, 3$ 这 $4$ 种可能。
最大流为 $0$ 也就是不连通的情况，可以通过并查集预处理出来。
最大流为 $1$ 也就是通过一条边联通，这种情况下这两个点显然是属于不同的边双连通分量的，我们也可以通过 $t a r j a n$ 预处理。

所以我们现在需要的是对于每个边双连通分量，找到我们通过切断其中的两条边，可以使得哪些点对不连通，除去这个，剩下的就都是最大流为 $3$ 的了。
我们可以考虑先将 $d f s$ 树建出来，在 $d f s$ 树上切断两条边，能够将树分成两块。
显然，我们不可能切两条非树边，切开照样是棵树，仍是连通的，那我们就只剩两种情况:

切一条树边与一条非树边，这种情况切掉树边 $(u, v)$ 后肯定 $v$ 的子树中肯定有且仅有一条边连到 $v$ 的联通块中。如果没有的话就该是两个边双联通分量了，如果有两条我们切完仍是连通的。这种情况也就是说我们能够将这棵树从这里划分成两块。
切两条树边，这种情况下我们切的两条树边一定是祖孙关系，这两条树边之间的部分没有能够超越第一条树边的返祖边，它的返祖边来自第二条树边的下方，现在与之割掉自然也就不联通了。这样的话我们相当于将整棵树分成两条树边之间与之外的两块。

容易发现，当且仅当两个点在所有的划分方案中都在同一个块中，它们之间的最大流才是 $3$ ，否则一定存在一种方案可以割两条边将它们划开。
我们可以将其看作一个等价类，同一个等价类中的点的最大流是 $3$ 。

考虑怎么维护这个等价类。
我们发现我们每次划分的块其 $d f s$ 序都是几乎连续的，只会有很少的几个区间。
那我们不妨就在这个 $d f s$ 区间上异或一个很大的数，来 $H a s h$ 它这个等价类，显然 $H a s h$ 值不同的两个点属于不同的等价类。
第一种情况我们只需记录一下从子树中传到祖先的返祖边的数量，这个树上差分就行，如果只有一条，就可以给这个子树的区间异或上一个数。
第二种情况可以转化成跨越这两条树边的返祖边集合相同，那么这两条边就可以被割开划分整棵树。
跨越这两条边的返祖边集合相同好判断，我们只需要用上面的做法在树上差分用 $H a s h$ 维护就可以了。
但集合相同的树边其实是可能很多的，我们不可能没两条边之间都处理一下，但我们事实上只需要处理它祖先中离它最近的一条，因为对于 $(x, y, z) (x < y < z)$ ，如果我们划分 $(x, z)$ 显然是不敌我们先划分 $(x, y)$ 再划分 $(y, z)$ 这相当于将一个等价类分成了两个不同的等价类，显然限制是更强的，所以我们处理这些就行了。
我们可以按 $d f s$ 序的方式再次遍历这棵树，记录下它前面离它最近的 $H a s h$ 值相同的边时哪条边，划分一下就可以。
最后只用统计一下每个等价类的大小，就可以贡献到答案上了。
不同等价类之间是 $2$ 的贡献，同一个等价类中是 $3$ 的贡献。

由于我们的点达到了 $10^6$ 的级别，所以我们每次异或上的 $H a s h$ 值得很大，反正 $i n t$ 一类我好像过不了。
~~然后就很卡常了，居然还不能用 $m a p$ ，我还得手打一个 $H a s h M a p$ 。~~
时间复杂度 $O\\left(n\\right)$ ，最开始不用并查集维护，直接 $d f s$ 遍历也可以。

源码

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize("Ofast")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1000005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL; 
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mo=998244353;
const int mod=1e6+3;
const int inv2=499122177;
const int jzm=2333;
const int zero=2000;
const int n1=2000;
const int orG=3,ivG=332748118;
const long double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-12;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x)return x<0?-x:x;
char gc()static char buf[20000000],*p1=buf,*p2=buf;return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,20000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
#define getchar gc
template<typename _T>
void read(_T &x)
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0')if(s=='-')f=-1;s=getchar();
	while('0'<=s&&s<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();
	x*=f;

template<typename _T>
void print(_T x)if(x<0)x=(~x)+1;putchar('-');if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');
int gcd(int a,int b)return !b?a:gcd(b,a%b);
int add(int x,int y,int p)return x+y<p?x+y:x+y-p;
void Add(int &x,int y,int p)x=add(x,y,p);
int qkpow(int a,int s,int p)int t=1;while(s)if(s&1)t=1ll*t*a%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;return t;
int n,m,dfn[MAXN],low[MAXN],belong[MAXN],idx,cnt,sz[MAXN],lw[MAXN];
int sta[MAXN],stak,ord[MAXN],fa[MAXN],rd[MAXN],pre[MAXN],dep[MAXN];
LL sp[MAXN],dif[MAXN];
bool vis[MAXN],vp[MAXN];
LL ans,num;bool insta[MAXN];
vector<int>vec[MAXN],G[MAXN],P[MAXN];
mt19937 e(time(NULL));
uniform_int_distribution<LL> g(1LL,(1LL<<62)-1LL);
struct HashMap
	int sum[MAXN],nxt[MAXN],head[MAXN],sta[MAXN],stak,tot;LL val[MAXN];
	void insert(LL ai,int aw)
		int pos=ai%mod,now=head[pos];if(!head[pos])sta[++stak]=pos;
		while(now&&val[now]!=ai)now=nxt[now];
		if(!now)now=++tot,val[now]=ai,nxt[now]=head[pos],head[pos]=now;
		sum[now]=aw;
	
	int query(LL ai)
		int pos=ai%mod,now=head[pos];
		while(now&&val[now]!=ai)now=nxt[now];
		return sum[now];
	
	void clear()
		for(int i=1;i<=tot;i++)sum[i]=nxt[i]=val[i]=0;tot=0;
		while(stak)head[sta[stak--]]=0;
	
mp;
void makeSet(int x)for(int i=1;i<=x;i++)fa[i]=i;
int findSet(int x)return fa[x]==x?x:fa[x]=findSet(fa[x]);
void unionSet(int a,int b)int u=findSet(a),v=findSet(b);if(u^v)fa[u]=v;
void tarjan(int u,int fa)
	dfn[u]=low[u]=++idx;sta[++stak]=u;insta[u]=1;
	int siz=G[u].size();
	for(int i=0;i<siz;i++)
		int v=G[u][i];if(v==fa)continue;
		if(!dfn[v])tarjan(v,u),low[u]=min(low[u],low[v]);
		else if(insta[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	
	if(dfn[u]==low[u])cnt++;int v;dov=sta[stak--];belong[v]=cnt;insta[v]=0;while(u^v);

void dosaka1(int u,int fa)
	int siz=P[u].size();vis[u]=1;
	dep[u]=dep[fa]+1;dfn[u]=++idx[硫化铂]旅行
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