[硫化铂]守序划分问题

Posted 2022-02-06 StaroForgin

守序划分问题

题目大意

题解

Province Team Selection=PTS=PtS=硫化铂，所以就叫这段时间的模拟赛题硫化铂吧。
结论题，我竟然没有想到

首先，既然是结论题，那么有结论，如果我们的一种划分所有集合方案使得${\min }_{i\in S}{A}_i⩾{\max }_{i\notin S}{A}_i$，那么一定不合法。
必要性是显然的，因为这样的话属于这两个集合内的集合肯定是不能相邻的，而它们因为无论怎么放，都要求这两个集合的点存分割点，使得需要${\min }_{i\in S}{A}_i⩽{\max }_{i\notin S}{A}_i$。
充分性也是可以证明的，如果满足这个条件我们一定能给出一种构造方法。
我们可以先将所有的$A$按$\max A_i$的大小从左往右放置，这样的话$\forall i\in [2,m],\max A_{p_i}>\min A_{p_{i-1}}$是一定成立的。
现在我们的问题是可能会有$\min A_{p_n}>\max A_{p_1}$。但显然存在$k$使得$\min A_{p_k}<\min A_{p_n}<\max A_{p_k}<\max A_{p_n}$，否则我们上面的条件一定不成立，我们可以将$A_{p_n}$与它大小上被完全包含的集合的集合当作被割裂出去的集合。
故我们可以将$p_k$与$p_n$交换一下，使得$\max A_{p_n}$变小，可以发现事实上我们可以不断重复这个过程知道我们的$\max A_{p_1}$可以接上来。
于是我们就构造除了一种合法的方案，也就证明了它的充分性。

现在我们考虑如何统计我们的方案数。
其实上面的结论相当于这$m$条线段一定是联通的，也就是说，当我们建立新的左端点时，之前已经建立的左端点对应的右端点一定尚未确立下来，否则就不联通了。
我们从小到大，将一个一个数逐步加入线段。
我们定义$d{p}_{i,j,k}$表示枚举到第$i$个点，已经确立了$j$条线段的左端点，其中有$k$条的右端点尚未确立。
转移比较好想，枚举这个点是用来新建立线段，不做端点地加入一条线段，或者作为一条线段的右端点，就行了。只要新线段成立时左端点不是所有左端点都右端点就好。

时间复杂度$O\left(n{m}^2\right)$。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 505
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL; 
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mo=998244353;
const int mod=1e5+3;
const int inv2=5e8+4;
const int jzm=2333;
const int zero=20000;
const int n1=1000;
const int M=100000;
const int orG=3,ivG=332748118;
const long double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-12;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x)return x<0?-x:x;
template<typename _T>
void read(_T &x)
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0')if(s=='-')f=-1;s=getchar();
	while('0'<=s&&s<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();
	x*=f;

template<typename _T>
void print(_T x)if(x<0)x=(~x)+1;putchar('-');if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');
int gcd(int a,int b)return !b?a:gcd(b,a%b);
int add(int x,int y,int p)return x+y<p?x+y:x+y-p;
void Add(int &x,int y,int p)x=add(x,y,p);
int qkpow(int a,int s,int p)int t=1;while(s)if(s&1)t=1ll*t*a%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;return t;
int n,m,dp[2][MAXN][MAXN],ans;
signed main()
	freopen("partition.in","r",stdin);
	freopen("partition.out","w",stdout);
	read(n);read(m);dp[0][1][1]=1;int now=0,las=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		swap(now,las);
		for(int j=1;j<=min(i,m);j++)
			for(int k=1;k<=j;k++)
				if(k)Add(dp[now][j][k-1],1ll*k*dp[las][j][k]%mo,mo);
				Add(dp[now][j+1][k+1],dp[las][j][k],mo);
				Add(dp[now][j][k],1ll*k*dp[las][j][k]%mo,mo);
				if(k)Add(dp[now][j+1][k],dp[las][j][k],mo);
			
		for(int j=1;j<=min(i,m);j++)
			for(int k=0;k<=j;k++)dp[las][j][k]=0;
	
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