如何判断矩阵是不是能够进行LU分解

Posted 2023-05-13

参考技术A 定理:A可以进行LU分解的充要条件是A顺序主子式全不为0.
这个定理的证明涉及到高斯消去法.
我们知道高斯消去的三种消去
1对换:对换矩阵的两行2倍乘,将某行乘以常数3倍加:将矩阵某行乘以常数加到另一行.
对应三种初等矩阵.其中第二三个是下三角矩阵而第一个不是.
如果矩阵A可以经过不用对换的高斯变换化成既约矩阵(他是一个上三角矩阵),那么就能进行LU分解.什么情况高斯消去不用对换矩阵的两行呢?
打个比方A经过第一次高斯消去后使得除了a11外第一列其他元素都是0了,然后进行第二列的消去此时要满足新的a22不为零才能进行下去.否则就要将第二行和其他行对换.(此处看线性代数书上的Ax=b的解法那里)
因此没有对换的关键是"消去第i列"时的aii不为0.我们的定理要证明的就是"消去第i列时的aii不为零"这个条件与"A的顺序主子式不为零"等价
证明,用数学归纳法对矩阵的阶n进行归纳

犰狳 C++ LU 分解

【中文标题】犰狳 C++ LU 分解

【英文标题】：Armadillo C++ LU decomposition

【发布时间】：2013-07-30 07:23:56

【问题描述】：

我正在使用 Armadillo C++ 库来求解中/大尺寸的线性系统（1000-5000 个方程）。

因为我必须解决不同的线性系统

AX=b

其中 A 始终相同而 B 发生变化，我只想对 A 进行一次 LU 因式分解，然后用不同的 b 重复使用 LU 分解。不幸的是，我不知道如何在犰狳中执行这种操作。

我所做的只是 A 矩阵的 LU 分解：

arma::mat A;
// ... fill the A matrix ...
arma::mat P,L,U;
arma::lu(L, U, P, A);

但现在我想使用矩阵 P、L 和 U 来求解具有不同 b 向量的几个线性系统。

你能帮帮我吗？

【问题讨论】：

也许您可以告诉我们您已经尝试过什么？也许您可以编辑您的问题以包含您尝试的SSCCE？

感谢 Joachim，我添加了我尝试过的内容...

【参考方案1】：

由于A = P.t()*L*U（由于舍入误差，相等仅是近似值），求解P.t()*L*U*x = b 中的x 需要置换B 的行并执行正向和反向替换：

x = solve(trimatu(U), solve(trimatl(L), P*b) );

由于犰狳中缺乏真正的三角求解器，以及执行行置换的快速方法，因此相对于直接调用相关的计算 LAPACK 子例程而言，此过程效率不高。

一般建议是避免在更高级别的库（如犰狳）中进行显式 LU 分解。

如果同时知道所有不同的b，则将它们作为列存储在矩形矩阵B 和X = solve(A,B); 中 如果不同的b 一次是已知的，那么如果不同r.h.s 的数量不同，预计算AINV = A.i(); 和x = AINV*b; 会更有效。向量足够大。看到这个answer 到一个类似的question。