矩阵——LU分解
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了矩阵——LU分解相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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L U 分解
回忆消元法的过程：方阵 A A A 经过初等行变换 ⟶ \\longrightarrow ⟶ 上三角矩阵 U . U . U.
使用矩阵语言: E A = U , E E A=U, E EA=U,E 是初等矩阵的乘积
例子：
A
=
(
2
1
8
7
)
⟶
r
2
−
4
r
1
(
2
1
0
3
)
=
U
\\begin{array}{l} A=\\left(\\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 8 & 7 \\end{array}\\right) \\stackrel{r_{2}-4 r_{1}}{\\longrightarrow}\\left(\\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 0 & 3 \\end{array}\\right)=U \\\\ \\end{array}
A=(2817)⟶r2−4r1(2013)=U
即
(
1
0
−
4
1
)
⏟
E
21
A
=
U
\\underbrace{\\left(\\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ -4 & 1 \\end{array}\\right)}_{E_{21}} A=U
E21
(1−401)A=U
⟹ A = E 21 − 1 U = ( 1 0 4 1 ) ( 2 1 0 3 ) = L U \\Longrightarrow A=E_{21}^{-1} U=\\left(\\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 4 & 1 \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 0 & 3 \\end{array}\\right)=LU ⟹A=E21−1U=(1401)(2013)=LU
L U 分解目标: 将矩阵 A A A 分解成一个下三角矩阵 L L L和一个上三角矩阵 U U U的乘积.我们希望下三角矩阵的对角元素都为1.
看三阶方阵的情形:
设不需做换行，A 经Gauss消元法变为上三角阵 U U U.通过左乘初等矩阵，可以得到一个上三角矩阵U。即 ( E 32 E 31 E 21 ) A = U \\left(E_{32} E_{31} E_{21}\\right) A=U (E32E31E21)A=U.
于是 A = ( E 21 − 1 E 31 − 1 E 32 − 1 ) U = L U A=\\left(E_{21}^{-1} E_{31}^{-1} E_{32}^{-1}\\right) U=L U A=(E21−1E31−1E32−1)U=LU.
消去矩阵为下三角矩阵. 下三角矩阵的逆、乘积均是下三角矩阵.
问题: 为什么用 A = L U A=L U A=LU,而非 U = ( E 32 E 31 E 21 ) A ? U=\\left(E_{32} E_{31} E_{21}\\right) A ? U=(E32E31E21)A?
例
1
\\Large{\\color{violet}{例1}}
例1
E
32
=
(
1
0
0
0
1
0
0
−
5
1
)
,
E
31
=
I
3
,
E
21
=
(
1
0
0
−
2
1
0
0
0
1
)
.
E
32
E
31
E
21
=
(
1
0
0
0
1
0
0
−
5
1
)
(
1
0
0
−
2
1
0
0
0
1
)
=
(
1
0
0
−
2
1
0
10
−
5
1
)
=
E
E
21
−
1
E
31
−
1
E
32
−
1
=
(
1
0
0
2
1
0
0
0
1
)
(
1
0
0
0
1
0
0
5
1
)
=
(
1
0
0
2
1
0
0
5
1
)
=
L
\\begin{array}{c}E_{32}= \\left(\\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -5 & 1\\end{array}\\right), E_{31}=I_{3}, E_{21}=\\left(\\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{array}\\right) . \\\\ E_{32} E_{31} E_{21}= \\left(\\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -5 & 1\\end{array}\\right) \\left(\\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\\end{array}\\right)= \\left(\\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ -2 & 1 & 0 \\\\ 10 & -5 & 1\\end{array}\\right)= E \\\\ E_{21}^{-1} E_{31}^{-1} E_{32}^{-1}= \\left(\\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\\end{array}\\right) \\left(\\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 5 & 1\\end{array}\\right)= \\left(\\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 5 & 1\\end{array}\\right)=L\\end{array}
E32=⎝⎛10001−5001⎠⎞,E31=I3以上是关于矩阵——LU分解的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章