数学狂想曲(十三)——勾股定理, Menelaus‘ Theorem

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数学狂想曲(十三)——勾股定理, Menelaus‘ Theorem相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

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勾股定理

勾股定理在西方被称为Pythagorean theorem。它的命题本身并不复杂,也就是初中几何的内容,但是内涵非常丰富。即使大学数学也未必能穷尽其中的奥妙。这里仅罗列一二。

Pythagoras of Samos,约570 BC~约495 BC,古希腊哲学家。那时候的哲学家比现在牛多了,通常都是兼通数门学科的宗师级人物。

使用勾股定理定义的距离,也就是通常的Euclidean Distance。之所以用Euclid命名是因为:勾股定理实际上和Euclid几何的平行公理是等价的。

空间拓扑结构对于定理的影响不仅于此。以下就是欧氏空间的一些有意思的等价结论:

Euclidean Distance(2范数) => 最小二乘法 => 正态分布

由于GMM隐含使用了Euclidean Distance,所以K-Means聚类可以采用任意距离,但GMM只能采用欧氏距离。

同理,为什么多数误差都符合正态分布?因为我们生活的空间是Euclidean space,多数的物理定律都是各向同性的,也只有Euclidean space才满足这种对称性。

不对称的空间也有,例如:

Manhattan Distance(1范数) => 拉普拉斯分布

不满足勾股定理的几何,也就是非欧几何。但实际上,Euclid对于其中的特例——球面几何,也有一定的研究。比如,著名的“球面三角形相似必全等”,就是他发现的。

参考:

https://mp.weixin.qq.com/s/Z3WVdFwDGqikWcLnM0zTOQ

颠覆认知!关于 c 2 = a 2 + b 2 c^2=a^2+b^2 c2=a2+b2,你不知道的N个事实

https://mp.weixin.qq.com/s/h_BjRGiNFV0V511RUumR0w

L1, L2 范数以及高斯,拉普拉斯分布

Menelaus’ Theorem

A D ⋅ B E ⋅ C F = B D ⋅ C E ⋅ A F AD\\cdot BE\\cdot CF=BD\\cdot CE\\cdot AF ADBECF=BDCEAF

Menelaus of Alexandria,公元70~140年,古希腊数学家、天文学家。青年时期求学于Alexandria,后定居于Rome。他第一个认识到曲面上的测地线(geodesics)可以类比于平面上的直线。

上图是这个定理的平面几何版本,相关的证明过程,网上已经很多了,这里不再赘述。

让我感兴趣的实际上是以下球面几何版本:

C r d    a r c    2 B Z C r d    a r c    2 A B = C r d    a r c 2 H Z C r d    a r c 2 H Θ ⋅ C r d    a r c    2 E Θ C r d    a r c    2 A E \\fracCrd \\; arc \\; 2BZCrd \\; arc \\; 2AB = \\fracCrd \\; arc 2HZCrd \\; arc 2H \\Theta \\cdot \\fracCrd \\; arc \\; 2E \\ThetaCrd \\; arc \\; 2AE Crdarc2ABCrdarc2BZ=Crdarc2HΘCrdarc2HZCrdarc2AECrdarc2EΘ

最早的三角术没有使用 sin ⁡ \\sin sin之类的现代符号和现代定义,而是用两倍的弧长对应的弦长来定义正弦。

证明过程:

添加辅助线:

去掉无关的线之后,得到一个平面版本:

弦的比例关系确定了,对应圆弧的比例也就定了:

Menelaus’ theorem现存最早的记录是Menelaus的著作《Spherics》。书中将平面版本的Menelaus’ theorem作为引理引入,并将之推广到球面三角形。按照当时的写作习惯,引理一般记述的是前人的成果,因此Menelaus’ theorem的平面三角版本的发现者应该另有其人。只有球面三角版本才是他的原创。

Menelaus的贡献不止于此。还有下图:

sin ⁡ A D sin ⁡ D C ⋅ sin ⁡ B C sin ⁡ A B = sin ⁡ A ′ D ′ sin ⁡ D ′ C ′ ⋅ sin ⁡ B ′ C ′ sin ⁡ A ′ B ′ \\frac\\sin AD\\sin DC \\cdot \\frac\\sin BC\\sin AB = \\frac\\sin A'D'\\sin D'C' \\cdot \\frac\\sin B'C'\\sin A'B' sinDCsinADsinABsinBC=sinDCsinADsinABsinBC

当然这个也是作为引理引入的,多半也是前人的发现。这实际上就是后世的射影几何学中的cross ratio。

从这里还可以得到一个学习曲面几何的小技巧或者说是直觉:圆弧=平面版本+正弦,双曲弧=平面版本+双曲正切。

此外还有球面三角形全等的AAA条件。这也是唯一的一个三角形全等条件中,球面三角形和平面三角形不同的地方。

当然了,考虑到这个条件和欧式几何平行公理的密切联系,那么这个结论可能仍然还是前人的发现,而发现者极大可能就是Euclid本人。

和人们通常的想法不同,三角术从一开始就是球面三角学,因为它的几个最初的奠基人(Hipparchus、Menelaus、Ptolemy)都是天文学家。。。平面三角学反而是很后来的事情了。。。大地测量对于Ptolemy这样的神兽来说,显然太low了。。。

类似的,Euclid的真正本事,其实并不在《几何原本》中,而是在稍后时代相关数学家的记述中。一般认为**《几何原本》只是Euclid给自己弟子编写的入门书籍**,完全显不出Euclid的真正水平。

最后,再稍微从现代的角度解释一下,为什么弦的比例关系确定了,对应圆弧的比例也就定了。以及这个比例为什么是正弦。

假设上图是个单位圆,那么从弧度制的角度来看, a r c A B arc AB arcAB实际上就等价于 ∠ A D B \\angleADB ADB

所以:

A Z = sin ⁡ ( ∠ A D B ) = sin ⁡ ( a r c A B ) AZ = \\sin (\\angleADB) = \\sin (arc AB) AZ=sin(ADB)=sin(arcAB)

但是从正弦定义的角度出发,要求AZ垂直于BD,这在实际的应用中是非常不方便的。好在根据相似三角形的性质,我们有以下推论:

A Z G H = A E G E \\fracAZGH = \\fracAEGE GHAZ=GEAE

所以:

A E G E = sin ⁡ ( a r c A B ) sin ⁡ ( a r c G B ) \\fracAEGE = \\frac\\sin (arc AB)\\sin (arc GB) GEAE=sin(arcGB)sin(arcAB)

从上图不难看出,Menelaus’ Theorem的平面版本的证明或者不需要三角术,但球面版本是一定要三角术的

这也可以从另一个角度解释平面三角学为何出现的晚。大地测量界并非没有高手,比如有小Archimedes之称的Heron,其咖位尚在Ptolemy之上。然而平面几何的那些问题,对于Heron来说过于简单,不值得发明新的工具。而普通的大地测量员,显然又没有能力发明三角术这样的工具。

Heron算的上是上古神兽中的异类了。他是那个时代少有的代数和几何都很溜,证明题和数值计算全精通,同时还点了物理、机械方面的技能树的全能骑士。可惜的是,在他之前已经有了全能骑士Archimedes,而且Archimedes在各方面的贡献都比他略胜半筹。所以Heron也就只能被称为小Archimedes了。

如果给上古神兽排个名的话,Archimedes肯定在前三名,Heron在5~10名中找个位置也不难,Ptolemy虽然顶着天文学之父的名头,但无奈高手太多,能不能进前10,就见仁见智了。

这里索性给一下我自己的上古神兽排名。

第一档:Euclid、Archimedes。

第二档:

Pythagoras,勾股定理。Pythagoras学派是古希腊最有数学传统的学派。

Apollonius,古希腊几何最高成就者,《圆锥曲线论》将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地。

第三档:

Thales,古希腊七贤之一。三角形全等和相似三角形。贡献了《几何原本》差不多一卷的内容。

Eudoxus。这个名字虽然现在不太出名,但在当时是公认的天下第一大数学家,Euclid也没有他的名气大。直到妖孽一般的Archimedes横空出世,才把天下第一的名头抢下来。《几何原本》有差不多五卷的内容都是他的成果。从某种意义上来说,他才是《几何原本》的真作者。

Heron。

第四档:

Eratosthenes,地理学之父,亚历山大里亚图书馆馆长。

Hipparchus、Ptolemy,这两人都有天文学之父的称号。前者有开创之功,后者是前者的学生,号称天文学的集大成者。

Diophantus,代数之父。

第五档:

Pappus,这个人本身的水平一般。但是他的书里收录了很多前人的成果。正是通过他,我们才知道之前的那些上古神兽有多么厉害。他也是古希腊最后一个知名的数学家了。

番外篇:

Plato,虽然他的学院立了个“不懂几何者,不得入内!”的牌子,但是他本人在数学上真的只是个菜鸡。

Aristotle,比他的老师Plato略强一些,贡献了逻辑推理,以及著名的反证法,此外还有几个小的数学命题。但在数学上,还达不到神兽的级别。

尽管有这些缺点,但必须承认的是,这两人是当时科学界的中心。他们的老师、同学、朋友、同事、学生中,一大把的数学家。。。

参考:

https://zhuanlan.zhihu.com/p/27355643

三角术

http://jonvoisey.net/blog/2018/05/almagest-index/

Almagest(天文学大成, Ptolemy著)

https://www.math.csi.cuny.edu/~ikofman/Polking/The%20Geometry%20of%20the%20Sphere.html

The Geometry of the Sphere

https://mathstat.slu.edu/escher/index.php/Spherical_Geometry

Spherical Geometry

https://zhuanlan.zhihu.com/p/97346034

球面三角学基础

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