数学狂想曲(十三)——勾股定理, Menelaus‘ Theorem
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数学狂想曲(十三)——勾股定理, Menelaus‘ Theorem相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
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勾股定理
勾股定理在西方被称为Pythagorean theorem。它的命题本身并不复杂,也就是初中几何的内容,但是内涵非常丰富。即使大学数学也未必能穷尽其中的奥妙。这里仅罗列一二。
Pythagoras of Samos,约570 BC~约495 BC,古希腊哲学家。那时候的哲学家比现在牛多了,通常都是兼通数门学科的宗师级人物。
使用勾股定理定义的距离,也就是通常的Euclidean Distance。之所以用Euclid命名是因为:勾股定理实际上和Euclid几何的平行公理是等价的。
空间拓扑结构对于定理的影响不仅于此。以下就是欧氏空间的一些有意思的等价结论:
Euclidean Distance(2范数) => 最小二乘法 => 正态分布
由于GMM隐含使用了Euclidean Distance,所以K-Means聚类可以采用任意距离,但GMM只能采用欧氏距离。
同理,为什么多数误差都符合正态分布?因为我们生活的空间是Euclidean space,多数的物理定律都是各向同性的,也只有Euclidean space才满足这种对称性。
不对称的空间也有,例如:
Manhattan Distance(1范数) => 拉普拉斯分布
不满足勾股定理的几何,也就是非欧几何。但实际上,Euclid对于其中的特例——球面几何,也有一定的研究。比如,著名的“球面三角形相似必全等”,就是他发现的。
参考:
https://mp.weixin.qq.com/s/Z3WVdFwDGqikWcLnM0zTOQ
颠覆认知!关于 c 2 = a 2 + b 2 c^2=a^2+b^2 c2=a2+b2,你不知道的N个事实
https://mp.weixin.qq.com/s/h_BjRGiNFV0V511RUumR0w
L1, L2 范数以及高斯,拉普拉斯分布
Menelaus’ Theorem
A D ⋅ B E ⋅ C F = B D ⋅ C E ⋅ A F AD\\cdot BE\\cdot CF=BD\\cdot CE\\cdot AF AD⋅BE⋅CF=BD⋅CE⋅AF
Menelaus of Alexandria,公元70~140年,古希腊数学家、天文学家。青年时期求学于Alexandria,后定居于Rome。他第一个认识到曲面上的测地线(geodesics)可以类比于平面上的直线。
上图是这个定理的平面几何版本,相关的证明过程,网上已经很多了,这里不再赘述。
让我感兴趣的实际上是以下球面几何版本:
C r d a r c 2 B Z C r d a r c 2 A B = C r d a r c 2 H Z C r d a r c 2 H Θ ⋅ C r d a r c 2 E Θ C r d a r c 2 A E \\fracCrd \\; arc \\; 2BZCrd \\; arc \\; 2AB = \\fracCrd \\; arc 2HZCrd \\; arc 2H \\Theta \\cdot \\fracCrd \\; arc \\; 2E \\ThetaCrd \\; arc \\; 2AE Crdarc2ABCrdarc2BZ=Crdarc2HΘCrdarc2HZ⋅Crdarc2AECrdarc2EΘ
最早的三角术没有使用 sin \\sin sin之类的现代符号和现代定义,而是用两倍的弧长对应的弦长来定义正弦。
证明过程:
添加辅助线:
去掉无关的线之后,得到一个平面版本:
弦的比例关系确定了,对应圆弧的比例也就定了:
Menelaus’ theorem现存最早的记录是Menelaus的著作《Spherics》。书中将平面版本的Menelaus’ theorem作为引理引入,并将之推广到球面三角形。按照当时的写作习惯,引理一般记述的是前人的成果,因此Menelaus’ theorem的平面三角版本的发现者应该另有其人。只有球面三角版本才是他的原创。
Menelaus的贡献不止于此。还有下图:
sin A D sin D C ⋅ sin B C sin A B = sin A ′ D ′ sin D ′ C ′ ⋅ sin B ′ C ′ sin A ′ B ′ \\frac\\sin AD\\sin DC \\cdot \\frac\\sin BC\\sin AB = \\frac\\sin A'D'\\sin D'C' \\cdot \\frac\\sin B'C'\\sin A'B' sinDCsinAD⋅sinABsinBC=sinD′C′sinA′D′⋅sinA′B′sinB′C′
当然这个也是作为引理引入的,多半也是前人的发现。这实际上就是后世的射影几何学中的cross ratio。
从这里还可以得到一个学习曲面几何的小技巧或者说是直觉:圆弧=平面版本+正弦,双曲弧=平面版本+双曲正切。
此外还有球面三角形全等的AAA条件。这也是唯一的一个三角形全等条件中,球面三角形和平面三角形不同的地方。
当然了,考虑到这个条件和欧式几何平行公理的密切联系,那么这个结论可能仍然还是前人的发现,而发现者极大可能就是Euclid本人。
和人们通常的想法不同,三角术从一开始就是球面三角学,因为它的几个最初的奠基人(Hipparchus、Menelaus、Ptolemy)都是天文学家。。。平面三角学反而是很后来的事情了。。。大地测量对于Ptolemy这样的神兽来说,显然太low了。。。
类似的,Euclid的真正本事,其实并不在《几何原本》中,而是在稍后时代相关数学家的记述中。一般认为**《几何原本》只是Euclid给自己弟子编写的入门书籍**,完全显不出Euclid的真正水平。
最后,再稍微从现代的角度解释一下,为什么弦的比例关系确定了,对应圆弧的比例也就定了。以及这个比例为什么是正弦。
假设上图是个单位圆,那么从弧度制的角度来看, a r c A B arc AB arcAB实际上就等价于 ∠ A D B \\angleADB ∠ADB。
所以:
A Z = sin ( ∠ A D B ) = sin ( a r c A B ) AZ = \\sin (\\angleADB) = \\sin (arc AB) AZ=sin(∠ADB)=sin(arcAB)
但是从正弦定义的角度出发,要求AZ垂直于BD,这在实际的应用中是非常不方便的。好在根据相似三角形的性质,我们有以下推论:
A Z G H = A E G E \\fracAZGH = \\fracAEGE GHAZ=GEAE
所以:
A E G E = sin ( a r c A B ) sin ( a r c G B ) \\fracAEGE = \\frac\\sin (arc AB)\\sin (arc GB) GEAE=sin(arcGB)sin(arcAB)
从上图不难看出,Menelaus’ Theorem的平面版本的证明或者不需要三角术,但球面版本是一定要三角术的。
这也可以从另一个角度解释平面三角学为何出现的晚。大地测量界并非没有高手,比如有小Archimedes之称的Heron,其咖位尚在Ptolemy之上。然而平面几何的那些问题,对于Heron来说过于简单,不值得发明新的工具。而普通的大地测量员,显然又没有能力发明三角术这样的工具。
Heron算的上是上古神兽中的异类了。他是那个时代少有的代数和几何都很溜,证明题和数值计算全精通,同时还点了物理、机械方面的技能树的全能骑士。可惜的是,在他之前已经有了全能骑士Archimedes,而且Archimedes在各方面的贡献都比他略胜半筹。所以Heron也就只能被称为小Archimedes了。
如果给上古神兽排个名的话,Archimedes肯定在前三名,Heron在5~10名中找个位置也不难,Ptolemy虽然顶着天文学之父的名头,但无奈高手太多,能不能进前10,就见仁见智了。
这里索性给一下我自己的上古神兽排名。
第一档:Euclid、Archimedes。
第二档:
Pythagoras,勾股定理。Pythagoras学派是古希腊最有数学传统的学派。
Apollonius,古希腊几何最高成就者,《圆锥曲线论》将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地。
第三档:
Thales,古希腊七贤之一。三角形全等和相似三角形。贡献了《几何原本》差不多一卷的内容。
Eudoxus。这个名字虽然现在不太出名,但在当时是公认的天下第一大数学家,Euclid也没有他的名气大。直到妖孽一般的Archimedes横空出世,才把天下第一的名头抢下来。《几何原本》有差不多五卷的内容都是他的成果。从某种意义上来说,他才是《几何原本》的真作者。
Heron。
第四档:
Eratosthenes,地理学之父,亚历山大里亚图书馆馆长。
Hipparchus、Ptolemy,这两人都有天文学之父的称号。前者有开创之功,后者是前者的学生,号称天文学的集大成者。
Diophantus,代数之父。
第五档:
Pappus,这个人本身的水平一般。但是他的书里收录了很多前人的成果。正是通过他,我们才知道之前的那些上古神兽有多么厉害。他也是古希腊最后一个知名的数学家了。
番外篇:
Plato,虽然他的学院立了个“不懂几何者,不得入内!”的牌子,但是他本人在数学上真的只是个菜鸡。
Aristotle,比他的老师Plato略强一些,贡献了逻辑推理,以及著名的反证法,此外还有几个小的数学命题。但在数学上,还达不到神兽的级别。
尽管有这些缺点,但必须承认的是,这两人是当时科学界的中心。他们的老师、同学、朋友、同事、学生中,一大把的数学家。。。
参考:
https://zhuanlan.zhihu.com/p/27355643
三角术
http://jonvoisey.net/blog/2018/05/almagest-index/
Almagest(天文学大成, Ptolemy著)
https://www.math.csi.cuny.edu/~ikofman/Polking/The%20Geometry%20of%20the%20Sphere.html
The Geometry of the Sphere
https://mathstat.slu.edu/escher/index.php/Spherical_Geometry
Spherical Geometry
https://zhuanlan.zhihu.com/p/97346034
球面三角学基础
以上是关于数学狂想曲(十三)——勾股定理, Menelaus‘ Theorem的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章