数学狂想曲——熵, 阴影面积, 肺炎版《黄冈密卷》
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数学狂想曲——熵, 阴影面积, 肺炎版《黄冈密卷》相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
熵
继《数学狂想曲（九）》之后，再谈谈熵。
Landauer’s Erasure Principle
在量子力学中，如同电荷、质量、时间有最小单位一样，热力学熵也有最小单位。Landauer’s Erasure Principle指出这个单位为 K B ln ( 2 ) K_B\\ln(2) KBln(2)，其中 K B K_B KB为玻尔兹曼常数。
Rolf Landauer，1927～1999，美国物理学家。出身于一个德国的犹太人家庭，1938年为躲避纳粹，全家移民美国。Harvard University本科（1945）+博士（1950）。IBM研究员。美国科学院、美国工程院院士。
需要指出的是：Landauer原理中虽有“信息”一词，但仍是物理学的概念，对应了物质/能量的转移。而信息熵是数学概念，对应的是抽象的对象。因此，前者的公式中还有一个 K B K_B KB的存在。
参考：
https://mp.weixin.qq.com/s/Gmfu9iLC71XmfQ5qyraIpQ
信息的物理性：从麦克斯韦妖到兰道尔擦除
https://mp.weixin.qq.com/s/vlhgdxjVJaiD6VbX1u3how
新·麦克斯韦妖
https://mp.weixin.qq.com/s/G-PCyPVqoH77-4Gt_BhS8Q
一个经典热力学思想实验的量子版本（吉布斯佯谬）
焓
焓（enthalpy）是一个和熵经常一起出现的概念。由于和信息论关系不大，这里仅作简要通俗的介绍，而非严格定义。
上面提到的热力学过程，只涉及气体的PVT变换，气体本身的其他状态并没有改变。而实际情况要复杂的多，比如气体会发生化学反应，也会发生相变（变成液态/固态），而这些变化本身，会吸收/释放热量，这时系统的内能就不再守恒了。焓就是用来度量这种变换的。
例如：
对于等温下的化学反应，若反应吸热，产物的焓高于反应物的焓；若反应放热，产物的焓应低于反应物的焓。
朗肯循环
上图是核电站的原理结构图。可以看到，其中有一个冷却蒸汽的过程。
好容易被加热的蒸汽，为什么要冷却呢？
术语：释放出热势能的蒸汽从汽轮机下部的排汽口排出，被称为乏汽。
单纯的热蒸汽膨胀做功，是可以将热能完全转换为机械能的。然而，如果没有循环的话，这就成了一次性的买卖。而一个能够循环做功的热机，才是有实际用处的。这也是卡诺和朗肯为什么都要研究循环的原因。
乏汽的温度和蒸汽差不多，但气压却低的多，如果不加压的话，根本进不了锅炉加热。然而，压缩空气是一个耗费机械能的过程，由卡诺循环可知，它耗费的能量要大于蒸汽对汽轮机做的功，两者的差值就是所谓的熵。
而乏汽冷却之后变成了水，由于液体的不可压缩特性，它可以很方便的被压入锅炉，从而进入下一轮的循环。
朗肯循环就是用来研究以水为热机工质的循环的。这中间由于水发生了相变，因此是一个焓变过程。
和卡诺循环与热力学第二定律等价不同，朗肯循环的损耗并无定数，使用更优良的工质（比如低沸点有机物）可以提升热机的效率。
William John Macquorn Rankine，1820~1872，英国科学家。University of Edinburgh肄业（读了两年，家里没钱了）。University of Glasgow教授。
https://www.zhihu.com/question/26163433
为什么不能将乏汽直接送入锅炉，而要经过冷却后再送入锅炉？效率不是下降了吗？
阴影面积
题如上图，已知正方形边长为10，求阴影面积。
解：
旋转图形建立坐标系如下图：
阴影部分上下曲边公式如下：
{ x 2 + y 2 = 5 2 x 2 + ( y + 5 2 ) 2 = 1 0 2 \\begin{cases} x^2+y^2=5^2 \\\\ x^2+(y+5\\sqrt{2})^2=10^2 \\end{cases} {x2+y2=52x2+(y+52)2=102
求解交点坐标：
( y + 5 2 ) 2 − y 2 = 75 → 10 2 y + 50 = 75 (y+5\\sqrt{2})^2-y^2=75 \\to 10\\sqrt{2}y+50=75 (y+52)2−y2=75→102y+50=75
{ y = 5 2 4 x = 175 8 \\begin{cases} y=\\frac{5\\sqrt{2}}{4} \\\\ x=\\sqrt{\\frac{175}{8}} \\end{cases} {y=452x=8175
用积分法求解阴影面积：
S 4 = ∫ 0 175 8 ( 5 2 − x 2 ) − ( ( 1 0 2 − x 2 ) − 5 2 ) d x = ∫ 0 175 8 ( 5 2 − x 2 ) d x − ∫ 0 175 8 ( 1 0 2 − x 2 ) d x + 5 2 ⋅ 175 8 \\frac{S}{4} =\\int_0^{\\sqrt{\\frac{175}{8}}}\\sqrt{(5^2-x^2)}-(\\sqrt{(10^2-x^2)}-5\\sqrt{2})\\mathrm{d}x \\\\ = \\int_0^{\\sqrt{\\frac{175}{8}}}\\sqrt{(5^2-x^2)}\\mathrm{d}x - \\int_0^{\\sqrt{\\frac{175}{8}}}\\sqrt{(10^2-x^2)}\\mathrm{d}x + 5\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{\\frac{175}{8}} 4S=∫08175(52−x2)−((102−x2)−52)dx=∫08175(52−x2)dx−∫08175(102−x2)dx+52⋅8175
查常用积分表，可得：
∫ a 2 − x 2 d x = 1 2 ( x a 2 − x 2 + a 2 arcsin x a ) + C \\int \\sqrt{a^2 - x^2}\\mathrm{d}{x} = \\frac12 \\left(x\\sqrt{a^2 - x^2} + a^2\\arcsin\\frac xa\\right) + C ∫a2−x2dx=21数学狂想曲——熵, 阴影面积, 肺炎版《黄冈密卷》
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